1 . 设动点P到定点的距离与到定直线l：的距离之比为2．
(1)求动点P的轨迹E的方程；
(2)若Q为l上的动点，A，B为E与x轴的交点，且点A在点B的左侧，QA与E的另一个交点为M，QB与E的另一个交点为N，求证：直线MN过定点．

2 . 已知双曲线的左顶点为A，右焦点为F，P是直线上一点，且P不在x轴上，以点P为圆心，线段PF的长为半径的圆弧AF交C的右支于点N．

(1)证明：；
(2)取，若直线PF与C的左、右两支分别交于E，D两点，过E作l的垂线，垂足为R，试判断直线DR是否过定点若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

3 . 已知双曲线的一条渐近线经过点，上任意一点到其两条渐近线的距离之积.
(1)求的标准方程.
(2)若的顶点都在上，点在第四象限且纵坐标为，直线，分别与轴交于点，，且原点平分线段.试判断直线是否过定点.若过定点，求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由.

4 . 已知双曲线C： 的左右焦点分别为 点 若双曲线 C的实轴长为 且
(1)求双曲线 C 的方程；
(2)点 P(2， 1)， A，B 为双曲线 C上两点， 点 Q 在直线 上， 轴，Q为AM 的中点，若P，B，M三点共线，问直线AB 是否过定点，如果是，请求出该定点；如果不是，请说明理由．

5 . 已知双曲线：经过点，且渐近线方程为．
(1)求的方程；
(2)过点作轴的垂线，交直线：于点，交轴于点．不过点的直线交双曲线于A、B两点，直线，的斜率分别为，，若，求．

6 . 已知双曲线：，其渐近线方程为，点在上.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点的两条直线AP，AQ分别与双曲线交于P，Q两点（不与点A重合），且两条直线的斜率之和为1，求证：直线PQ过定点.

7 . 已知双曲线的右焦点为，半焦距，点到右准线的距离为，过点作双曲线的两条互相垂直的弦，设的中点分别为.则直线过定点_____________.

8 . 设两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积是，记点的轨迹为．

(1)求的方程；
(2)若为直线上的一动点，直线分别与交于点．求证：直线过定点．

9 . 平面直角坐标系xOy中，已知双曲线（）的离心率为，实轴长为4．
   
(1)求C的方程；
(2)如图，点A为双曲线的下顶点，直线l过点且垂直于y轴（P位于原点与上顶点之间），过P的直线交C于G，H两点，直线AG，AH分别与l交于M，N两点，若直线的斜率满足，求点P的坐标．

10 . 已知双曲线C的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为，点，为C的左，右顶点．P为直线上的动点，与C的另一个交点为M，与C的另一个交点为N．
(1)求C的方程；
(2)证明：直线MN过定点．