1 . 已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且过点.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)已知点是双曲线上异于的两个不同点，且，证明：直线过定点，并求出定点坐标.

2 . 已知圆：，定点，如图所示，圆上某一点恰好与点关于直线对称，设直线与直线的交点为.
   
(1)求证：为定值，并求出点的轨迹方程；
(2)设，为曲线上一点，为圆上一点（，均不在轴上）.直线，的斜率分别记为，，且.求证：直线过定点，并求出此定点的坐标.

3 . 已知双曲线C：过点且右焦点.
(1)求双曲线的方程；
(2)点M是双曲线上位于第一象限内的一动点，直线与x轴交于点A，的平分线与直线交于点B，试问直线MB是否恒过定点，若过，则求出定点坐标，若不过，请说明理由.

4 . 已知为坐标原点，点在双曲线上，直线交于，两点.
(1)若直线过的右焦点，且斜率为，求 的面积；
(2)若直线，与轴分别相交于，两点，且，证明：直线过定点.

5 . 已知双曲线的离心率为2，左、右顶点分别为，，且它们到渐近线的距离为.
(1)求的方程；
(2)设点，在的右支上，直线，在轴上的截距之比为，求证：直线过定点.

6 . 已知，动点满足与的斜率之积为3，记动点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)已知，过的直线交曲线在轴右侧的图像于两点，求面积的最小值；
(3)若直线过交曲线图像于两点，是否存在定点，使得恒成立，若存在，请求实数的值；若不存在，请说明理由.

7 . 已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,右焦点F到其中一条渐近线的距离为1．
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)已知直线l与x轴不垂直且斜率不为0,直线l与双曲线C交于M,N两点．点M关于x轴的对称点为,若三点共线,证明:直线l经过x轴上的一个定点．

8 . 动点到定点的距离和到直线的距离之比为，
(1)求动点的轨迹；
(2)设点，动点的轨迹方程为，过点作曲线的两条切线，切点为，求证：直线过某一个定点.

9 . 已知双曲线的渐近线方程为，且经过点.

(1)求双曲线的方程；
(2)若点Q是直线上一动点，过点Q引双曲线两条切线，切点为A，B，试探究：直线AB是否恒过定点.若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.

10 . 在平面直角坐标系中，已知等轴双曲线过点
(1)求双曲线的方程；
(2)已知点，斜率为的直线与双曲线交于两点（不同于点），且，求证直线过定点.