1 . 设点为双曲线上任意一点，双曲线的离心率为，右焦点与椭圆的右焦点重合．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点作双曲线两条渐近线的平行线，分别与两渐近线交于点，，求证：平行四边形的面积为定值，并求出此定值．

2 . 在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点分别为、，其图象经过点，渐近线方程为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设点、是双曲线上位于第一象限的任意两点，求证：．

3 . 已知双曲线（，）的焦距为，且双曲线右支上一动点到两条渐近线，的距离之积为．
（1）求双曲线的方程；
（2）设直线是曲线在点处的切线，且分别交两条渐近线，于、两点，为坐标原点，证明：面积为定值，并求出该定值．

4 . 双曲线：的左顶点为，右焦点为，动点在上.当时，.
（1）求双曲线的离心率；
（2）若在第一象限，证明：.

5 . 已知双曲线方程为.
（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值；
（2）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值.

6 . 过双曲线的右支上的一点P作一直线l与两渐近线交于A、B两点，其中P是的中点；
（1）求双曲线的渐近线方程；
（2）当P坐标为时，求直线l的方程；
（3）求证：是一个定值．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线之间的阴影部分记为，区域中动点到的距离之积为1.

（1）求点的轨迹的方程；
（2）动直线穿过区域，分别交直线于两点，若直线与轨迹有且只有一个公共点，求证：的面积恒为定值.

8 . 已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点，点在双曲线上．
(1)求双曲线方程；
(2)求证：；
(3)求的面积．

9 . 已知双曲线，为上的任意点．
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点的坐标为，求的最小值.

10 . 已知双曲线的离心率为，右准线方程为
（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设直线是圆上动点处的切线，与双曲线交于不同的两点，证明的大小为定值..