1 . 组合数有许多丰富有趣的性质，例如，二项式系数的和有下述性质：
.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.
(1)计算：
，并与
比较，你有什么发现？写出一般性结论并证明；
(2)证明：
(3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：
.
.小明同学想进一步探究组合数平方和的性质，请帮他完成下面的探究.(1)计算：
，并与比较，你有什么发现？写出一般性结论并证明；(2)证明：
(3)利用上述（1）（2）两小问的结论，证明：
.
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2024-04-12更新
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618次组卷
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3卷引用：单元测试A卷——第六章 计数原理
2 . 在数字
的任意一个排列
：
中，如果对于
，
，有
，那么就称
为一个逆序对．记排列中逆序对的个数为
．如
时，在排列
：3，2，4，1中，逆序对有
，
，
，
，则
．
(1)设排列
：
，写出两组具体的排列，分别满足：①
，②
；
(2)对于数字1，2，…，n的一切排列，求所有的算术平均值；
(3)如果把排列A：中两个数字
交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列，
：
，求证：
为奇数．
的任意一个排列：中，如果对于，，有，那么就称为一个逆序对．记排列中逆序对的个数为．如时，在排列：3，2，4，1中，逆序对有，，，，则．(1)设排列
：，写出两组具体的排列，分别满足：①，②；(2)对于数字1，2，…，n的一切排列
，求所有的算术平均值；(3)如果把排列A：
中两个数字交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列，：，求证：为奇数．
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22-23高二上·上海浦东新·期末
名校
3 . 已知集合
，规定：若集合
，则称
为集合的一个分拆，当且仅当：
，
，…，
时，与
为同一分拆，所有不同的分拆种数记为
.例如：当
，
时，集合
的所有分拆为：
，
，
，即
.
(1)求
；
(2)试用
、
表示；
(3)设
，规定
，证明：当
时，
与同为奇数或者同为偶数.
，规定：若集合，则称为集合的一个分拆，当且仅当：，，…，时，与为同一分拆，所有不同的分拆种数记为.例如：当，时，集合的所有分拆为：，，，即.(1)求
；(2)试用
、表示；(3)设
，规定，证明：当时，与同为奇数或者同为偶数.
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2023-02-07更新
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1084次组卷
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8卷引用：第6章 计数原理（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（沪教版2020选择性必修第二册）
（已下线）第6章 计数原理（B卷·能力提升练）-【单元测试】2022-2023学年高二数学分层训练AB卷（沪教版2020选择性必修第二册）单元测试B卷——第六章 计数原理上海市实验学校2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）6.5二项式定理（分层练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第二册）（已下线）第6章 计数原理（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）江西省吉安市峡江中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（九省联考题型）（已下线）第六章 计数原理（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第二册）（已下线）期中考试押题卷（考试范围：第6-7章）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（苏教版2019选择性必修第二册）
4 . 已知
．
（1）若
且
，求n的值；
（2）若
，求证：
．
．（1）若
且，求n的值；（2）若
，求证：．
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2021-10-26更新
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658次组卷
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4卷引用：人教B版(2019) 选修第二册 名师精选 第三单元 二项式定理与杨辉三角
人教B版(2019) 选修第二册 名师精选 第三单元 二项式定理与杨辉三角（已下线）第04讲 二项式定理-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）重难点：二项式定理（提高卷）-【同步题型讲义】2022-2023学年高二数学同步教学题型讲义（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）第六章 计数原理（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第三册）
5 . 已知
.
（1）当
时，求
的展开式中含
项的系数；
（2）证明：的展开式中含
项的系数为
；
（3）定义：
，化简：
.
.（1）当
时，求的展开式中含项的系数；（2）证明：
的展开式中含项的系数为；（3）定义：
，化简：.
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2021-09-18更新
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1204次组卷
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6卷引用：第六章计数原理章节验收测评卷-【精讲精练】2022-2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）
（已下线）第六章计数原理章节验收测评卷-【精讲精练】2022-2023学年高二数学下学期同步精讲精练（人教A版2019选择性必修第三册）河北省正定中学2020-2021学年高二下学期半月考试数学试题（已下线）第6章 计数原理（新文化与压轴30题专练）2021-2022学年高二数学下学期考试满分全攻略（人教A版2019选修第二册+第三册）沪教版(2020) 选修第二册 经典学案 课后作业 第6章 6.5 二项式定理（已下线）6.3 二项式定理（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）模块五 专题6 全真拔高模拟6
6 . 对任意
，定义
+
，其中
为正整数.
（1）求
的值；
（2）探究
是否为定值，并证明你的结论；
（3）设
，是否存在正整数
，使得
成等差数列，若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
，定义+，其中为正整数.（1）求
的值；（2）探究
是否为定值，并证明你的结论；（3）设
，是否存在正整数，使得成等差数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
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2021-04-13更新
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1037次组卷
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7卷引用：第7章 计数原理 单元综合检测（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）
（已下线）第7章 计数原理 单元综合检测（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）第六章 计数原理（单元重点综合测试）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第三册）湖北省武汉市华师一附中2020-2021学年高二上学期期中数学试题沪教版(2020) 选修第二册 单元训练 第6章 计数原理 二项式定理及其应用（A卷）（已下线）专题20 计数原理(讲义)-2（已下线）4.2.1等差数列的概念（第2课时）（分层作业）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）江苏省徐州市第一中学2023-2024学年高二下学期4月期中考试数学试题
2018·江苏南通·二模
名校
解题方法
7 . 已知
，．记
．
（1）求
的值；
（2）化简
的表达式，并证明：对任意的，都能被
整除．
，．记．（1）求
的值；（2）化简
的表达式，并证明：对任意的，都能被整除．
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2020-03-17更新
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2035次组卷
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16卷引用：第05章：排列组合及二项式定理（B卷提升篇）-2020-2021学年高二数学下学期同步单元AB卷（苏教版）
（已下线）第05章：排列组合及二项式定理（B卷提升篇）-2020-2021学年高二数学下学期同步单元AB卷（苏教版）（已下线）专题6.8 计数原理全章综合测试卷（提高篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）江苏省南通、徐州、扬州等六市2018届高三第二次调研（二模）测试数学（文理）试题河北省定州中学2018届高三下学期第一次月考数学试题2江苏省邗江中学2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题（已下线）2017-2018学年度下学期高二数学期末备考总动员C卷理科01专题11.2 二项式定理（练）-江苏版《2020年高考一轮复习讲练测》2020届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟试题2020届江苏省金陵中学、丹阳高级中学、无锡一中高三下学期期初联考数学试题2020届江苏省南京师范大学附中高三下学期第一次模拟考试数学试题（已下线）专题21 计数原理与二项式定理-2021年高考数学二轮优化提升专题训练（新高考地区专用）【学科网名师堂】（已下线）专题8.2 二项式定理的应用-备战2021年高考数学精选考点专项突破题集（新高考地区）（已下线）考点突破16 计数原理-备战2022年高考数学一轮复习培优提升精炼（新高考地区专用）（已下线）考点66 二项式定理-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）【学科网名师堂】（已下线）第66讲 二项式定理（已下线）专题16 计数原理（2）
17-18高二下·江苏无锡·期末
名校
8 . 已知函数
，其中
，
.
（1）若
，
，求
的值；
（2）若
，
，求
的最大值；
（3）若
，求证：
.
，其中，.（1）若
，，求的值；（2）若
，，求的最大值；（3）若
，求证：.
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2018-07-02更新
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1279次组卷
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4卷引用：专题6.8 计数原理全章综合测试卷（提高篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）
（已下线）专题6.8 计数原理全章综合测试卷（提高篇）-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第三册）【全国市级联考】江苏省无锡市2017-2018学年高二下期期末数学（理）试题【全国百强校】江苏省启东中学2018-2019学年高一下学期期中考试（创新班）数学试题（已下线）第6章 计数原理（新文化与压轴30题专练）2021-2022学年高二数学下学期考试满分全攻略（人教A版2019选修第二册+第三册）
9 . 请阅读：当
时，在等式
的两边对
求导，得
，利用上述方法，试由等式
（
，正整数
）.
（1）证明：
；（注：
）
（2）求
；
（3）求
.
时，在等式的两边对求导，得，利用上述方法，试由等式（，正整数）.（1）证明：
；（注：）（2）求
；（3）求
.
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2018-04-27更新
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1324次组卷
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3卷引用：第六章 计数原理（基础卷）-《阳光测评》2020-2021学年高二数学单元提升卷（人教A版2019选择性必修第三册）
（已下线）第六章 计数原理（基础卷）-《阳光测评》2020-2021学年高二数学单元提升卷（人教A版2019选择性必修第三册）【全国区级联考】江苏省徐州市铜山区2017-2018学年高二下学期期中考试数学（理）试题江苏省涟水中学2018-2019学年高二5月月考数学（理）试题
10 . （1）求
的值；
（2）设m，n
N*，n≥m，求证：
（m+1）
+（m+2）
+（m+3）
+
+n
+（n+1）
=（m+1）
.
的值；（2）设m，n
N*，n≥m，求证： （m+1）
+（m+2）+（m+3）++n+（n+1）=（m+1）.
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2016-12-04更新
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3558次组卷
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11卷引用：第一章计数原理单元测试(巅峰版) -突破满分数学之2019-2020学年高二数学（理）重难点突破（人教A版选修2-3）
（已下线）第一章计数原理单元测试(巅峰版) -突破满分数学之2019-2020学年高二数学（理）重难点突破（人教A版选修2-3）北师大版(2019) 选修第一册 必杀技 第五章 素养检测人教A版(2019) 选修第三册 必杀技 第六章素养检测2016年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷精编版）苏教版高中数学 高三二轮 专题24 计数原理数学归纳法随机变量及其分布列 测试专题20 数学归纳法及其证明-《巅峰冲刺2020年高考之二轮专项提升》[江苏]（已下线）突破1.2排列与组合-突破满分数学之2019-2020学年高二数学（理）重难点突破（人教A版选修2-3）（已下线）专题13 二项式-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项人教A版(2019) 选修第三册 一蹴而就 第六章 高考真题（已下线）2016年全国普通高等学校招生统一考试数学（江苏卷参考版）（已下线）专题25 概率统计解答题（理科）-1
