1 . 泊松分布是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况.如果随机变量的所有可能取值为0，1，2…，且，其中，则称服从泊松分布，记作.
(1)设，且，求；
(2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当不太大时，有.
（ⅰ）已知甲地区共有100000户居民，每户居民每天有0.00010的概率需要一名水电工.试估计某天需要至少2名水电工的概率；
（ⅱ）在（ⅰ）的基础上，已知乙地区共有200000户居民，每户居民每天有0.00004的概率需要一名水电工.试估计某天两个地区一起至少需要3名水电工的概率.

2 . 上世纪八十年代，女排精神风靡全国，如今过去三十多年，中国女排依旧魅力不衰.2016年8月21日，里约奥运会女排决赛，中国女排在先失一局的情况下连扳三局，以逆转战胜塞尔维亚女排，这是中国女排时隔12年再次获得奥运冠军.2019年9月，女排姑娘们以十一连胜的骄人战绩赢得2019年女排世界杯冠军，为祖国母亲献上了一份厚礼，中国女排重返世界第一.回顾里约奥运会的女排决赛，比赛规则为“5局3胜”，即以先赢3局者为胜，每局比赛中国女排获胜的概率为0.6，各局比赛相互间没有影响，则中国女排在先失一局的情况下，能战胜塞尔维亚女排的概率为（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数，例如将化为分数是这样计算的：设，则，即，解得.
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法，这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛的结果互不影响.规定：净胜局指的是一方比另一方多胜局.
(1)如果约定先获得净胜两局者获胜，求恰好4局结束比赛的概率；
(2)如果约定先获得净胜三局者获胜，那么在比赛过程中，甲可能净胜局.设甲在净胜局时，继续比赛甲获胜的概率为，比赛结束（甲、乙有一方先净胜三局）时需进行的局数为，期望为.
①求甲获胜的概率；
②求.

4 . 某次数学考试满分150分，记分别表示甲、乙两班学生在这次考试中的成绩，且，，则（       ）

A．甲班的平均分低于乙班的平均分

B．甲班的极差大于乙班的极差

C．成绩在的人数占比乙班更高

D．成绩在的人数占比甲班更高

5 . 如图所示：在一个无限延展的平面上，铺满了边长为1的正方形网格．已知某质点从出发，只能沿着网格线走，每次走一格，且每次向右走的概率为，向上走的概率为，向左走的概率为，向下走的概率为，且每一步之间相互独立．设按最短路径从到达的概率记为，则当取得最大值的时候的取值为______．

6 . 高二年级早读时间是7时10分，甲同学每天早上上学有三种方式：步行，骑自行车或乘出租车，概率分别为0.2，0.5，0.3；并且知道他步行，骑自行车或乘出租车时，迟到的概率分别为，，，那么以下正确的是（       ）

A．甲同学今天早上步行上学与骑自行车上学是互斥事件

B．甲同学今天早上步行上学与骑自行车上学相互独立

C．甲同学迟到的概率是

D．若已经知道他今早迟到了，则他今早是步行上学的概率为

7 . 某基层工会拟通过摸球的方式对会员发放节日红包.现在一个不透明的袋子中装有5个都标有红包金额的球，其中有2个球标注的为40元，有2个球标注的为50元，有1个球标注的为60元，除标注金额不同外，其余均相同，每位会员从袋中一次摸出1个球，连续摸2次，摸出的球上所标的红包金额之和为该会员所获得的红包总金额.
(1)若每次摸出的球不放回袋中，求一个会员所获得的红包总金额不低于90元的概率；
(2)若每次摸出的球放回袋中，记为一个会员所获得的红包总金额，求的分布列和数学期望.

8 . 某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作业的总时长进行了调研，结果如下表所示：

时长t（小时）
人数	3	4	33	42	18

用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，
(1)从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；
(2)从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时内完成各科作业，求X的分布列和数学期望；
(3)从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有人可以在3小时内完成各科作业，人在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望，并比较其大小关系.

9 . 天道酬勤，勤能补拙，努力的人得到的结果也许不尽如人意，虽然问心无愧的他们往往能平静看待生活中的点点滴滴，后悔这个词离他们似乎很遥远，但面对不顺时，他们有时候也会反思一些细节，情不自禁的流下悔恨的泪水.其实每个人在生活中都曾有过后悔的经历，即便是懒惰成性，不思进取的人，遇到挫折时，他们中也会有人会反思过去的不足，即使明知悔之晚矣，也往往会流下悔恨的泪水.某位经验丰富的班主任老师，从高一开始，一直在反复告诫自己的学生：珍惜当下，积极进取，争做高考后无怨无悔的人，不做高考后如祥林嫂般的悔恨者.一晃三年过去了，这位班主任老师结合学生三年的表现，调查发现，自己任教的班级勤懒生人数之比为，结合自己对以前毕业于自己班的学生高考后的表现发现，勤生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.001，而懒生高考后流下悔恨的泪水的概率为0.020.展望本届学生高考，他清楚地知道，自己班上一定有学生会在高考后流下悔恨的泪水，若真如该老师所料，有一位学生流下了悔恨的泪水，则这个学生恰好是一名懒生的概率为________（结果用既约分数表示）

10 . 某农户购入一批种子，已知每粒种子发芽的概率均为0.9，总共种下n粒种子，其中发芽种子的数量为X．
(1)要使的值最大，求n的值；
(2)已知切比雪夫不等式：设随机变量X的期望为，方差为，则对任意均有，切比雪夫不等式可以使人们在随机变量X的分布末知的情况下，对事件的概率作出估计．
①当随机变量X为离散型随机变量，证明切比雪夫不等式（可以直接证明，也可以用下面的马尔科夫不等式来证明切比雪夫不等式）；
②为了至少有的把握使种子的发芽率落在区间，请利用切比雪夫不等式估计农户种下种子数的最小值．
注：马尔科夫不等式为：设X为一个非负随机变量，其数学期望为，则对任意，均有．