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解题方法
1 . 有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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2 . 高三学生参加高考体检，一班共有50人，分成A，B，C三个小组，分别有15，15，20人.
(1)若三组同学在一起排序进行，求最后一位同学来自A组且B组比C组结束的早的概率；
(2)若每位同学的体检时间都是两分钟，三组同学在一起排序进行，求A组同学全部结束所需时间的期望.
(1)若三组同学在一起排序进行，求最后一位同学来自A组且B组比C组结束的早的概率；
(2)若每位同学的体检时间都是两分钟，三组同学在一起排序进行，求A组同学全部结束所需时间的期望.
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解题方法
3 . 从由数字0，1，2，3，4组成的五位数中任取一个，则取到数字2和3相邻的五位数的概率为（ ）
A． | B． | C． | D． |
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解题方法
4 . 科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计，2023 年1月至12月 A，B两地区电动汽车市场各月的销售量数据如下：
(2)从2023 年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1个月的月销量比低于5的概率；
(3)记2023年1月至12月 A，B 两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为
，
，试判断与的大小.（结论不要求证明）
1月 | 2月 | 3月 | 4月 | 5月 | 6月 | 7月 | 8月 | 9月 | 10月 | 11月 | 12月 | |
A 地区 （单位：万辆） | 29.4 | 39.7 | 54.3 | 49.4 | 56.2 | 65.4 | 61.1 | 68.2 | 70.2 | 71.9 | 77.1 | 89.2 |
B 地区 （单位：万辆） | 7.8 | 8.8 | 8.1 | 8.3 | 9.2 | 10.0 | 9.7 | 9.9 | 10.4 | 9.4 | 8.9 | 10.1 |
月销量比 | 3.8 | 4.5 | 6.7 | 6.0 | 6.1 | 6.5 | 6.3 | 6.9 | 6.8 | 7.6 | 8.7 | 8.8 |
月销量比是指：该月 A 地区电动汽车市场的销售量与B 地区的销售量的比值（保留一位小数）.
(1)在2023年2月至12月中随机抽取1个月，求 A 地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的概率；(2)从2023 年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1个月的月销量比低于5的概率；
(3)记2023年1月至12月 A，B 两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为
，，试判断与的大小.（结论不要求证明）
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解题方法
5 . 近年来，国内掀起了全民新中式热潮，新中式穿搭，新中式茶饮，新中式快餐，新中式烘焙等，以下为某纺织厂生产“新中式”面料近5个月的利润（y万元）的统计表.
(1)根据统计表，试求y与x之间的相关系数r（精确到0.001），并利用r说明y与x是否具有较强的线性相关关系：（若
，则认为两个变量具有较强的线性相关性）；
(2)从这5个月的利润中任选2个月的利润，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于20万元”的概率.
附：参考数据：
相关系数
.
月份 | 2023.11 | 2023.12 | 2024.01 | 2024.02 | 2024.03 |
月份编号x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
利润（y万元） | 27 | 23 | 20 | 17 | 13 |
，则认为两个变量具有较强的线性相关性）；(2)从这5个月的利润中任选2个月的利润，分别记为m，n，求事件“m，n均不小于20万元”的概率.
附：参考数据：
相关系数
.
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6 . 甲和乙两个箱子中各装有
个大小、质地均相同的小球，并且各箱中
是红球，
是白球．
(1)当
时，从甲箱中随机抽出2个球，求2个球的颜色不同的概率．
(2)由概率学知识可知，当总量足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布．现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作
；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作
．那么当至少为多少时，我们可以在误差不超过
（即
）的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：
）．
个大小、质地均相同的小球，并且各箱中是红球，是白球．(1)当
时，从甲箱中随机抽出2个球，求2个球的颜色不同的概率．(2)由概率学知识可知，当总量
足够多而抽出的个体足够少时，超几何分布近似为二项分布．现从甲箱中不放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作；从乙箱中有放回地取3个小球，恰有2个白球的概率记作．那么当至少为多少时，我们可以在误差不超过（即）的前提下认为超几何分布近似为二项分布？（参考数据：）．
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7 . 一个盒子里装有5个小球，其中3个是黑球，2个是白球，现依次一个一个地往外取球（不放回），记事件
表示“第
次取出的球是黑球”，
，则下面不正确的是（ ）
表示“第次取出的球是黑球”，，则下面不正确的是（ ）A． | B． |
C． | D． |
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8 . 激光的单光子通讯过程可用如下模型表述：发送方将信息加密后选择某种特定偏振状态的单光子进行发送，在信息传输过程中，若存在窃听者，由于密码本的缺失，窃听者不一定能正确解密并获取准确信息．
某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系．
已知原始信息的任意一种单光子的偏振状态，对应的窃听者解密信息的单光子的偏振状态等可能地出现．
(1)若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率；
(2)若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为
，求的分布列和数学期望
；
(3)已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为
，有两种偏振状态的可能性为
，有三种偏振状态的可能性为
，试比较
的大小关系．（结论不要求证明）
某次实验中，假设原始信息的单光子的偏振状态0，1，2，3等可能地出现，原始信息息的单光子的偏振状态与窃听者的解密信息的单光子的偏振状态有如下对应关系．
原始信息的单光子的偏振状态 | 0 | 1 | 2 | 3 |
解密信息的单光子的偏振状态 | 0，1，2 | 0，1，3 | 1，2，3 | 0，2，3 |
(1)若发送者发送的原始信息的单光子的偏振状态为1，求窃听者解密信息的单光子的偏振状态与原始信息的单光子的偏振状态相同的概率；
(2)若发送者连续三次发送的原始信息的单光子的偏振状态均为1，设窃听者解密信息的单光子的偏振状态为1的个数为
，求的分布列和数学期望；(3)已知发送者连续三次发送信息，窃听者解密信息的单光子的偏振状态均为1．设原始信息的单光子只有一种偏振状态的可能性为
，有两种偏振状态的可能性为，有三种偏振状态的可能性为，试比较的大小关系．（结论不要求证明）
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9 . 近两年旅游业迎来强劲复苏，外出旅游的人越来越多．
两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下：
利润率
，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．
(1)比较两家旅游公司过去6个月平均每月利润率的大小；
(2)用频率估计概率，且假设两家旅游公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月两家旅游公司至少有一家盈利的概率．
两家旅游公司过去6个月的利润率统计如下：利润率 月数 公司 |
|
| -5% |
A公司 | 3 | 2 | 1 |
B公司 | 2 | 2 | 2 |
，盈利为正，亏损为负，且每个月的成本不变．(1)比较
两家旅游公司过去6个月平均每月利润率的大小；(2)用频率估计概率，且假设
两家旅游公司每个月的盈利情况是相互独立的，求未来的某个月两家旅游公司至少有一家盈利的概率．
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10 . 为研究中国工业机器人产量和销量的变化规律，收集得到了
年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．
记年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“
”．
(1)从年中随机取
年，求工业机器人的产销率大于
的概率；
(2)从
年这
年中随机取
年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有
年工业机器人的销量不小于．记
，求
的分布列和数学期望
；
(3)从哪年开始的连续
年中随机取年，工业机器人的产销率超过
的概率最小．结论不要求证明
年工业机器人的产量和销量数据，如下表所示．年份 |
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产量万台 |
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销量万台 |
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年工业机器人产量的中位数为，销量的中位数为．定义产销率为“”．(1)从
年中随机取年，求工业机器人的产销率大于的概率；(2)从
年这年中随机取年，这年中有年工业机器人的产量不小于，有年工业机器人的销量不小于．记，求的分布列和数学期望；(3)从哪年开始的连续
年中随机取年，工业机器人的产销率超过的概率最小．结论不要求证明
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