名校
解题方法
1 . 甲乙两人进行乒乓球比赛，现约定：谁先赢3局谁就赢得比赛，且比赛结束．若每局比赛甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
．
(1)求甲赢得比赛的概率；
(2)记比赛结束时的总局数为
，写出的分布列，并求出的期望值．
，乙获胜的概率为．(1)求甲赢得比赛的概率；
(2)记比赛结束时的总局数为
，写出的分布列，并求出的期望值．
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解题方法
2 . 甲口袋中装有2个红球和1个黑球，乙口袋中装有1个红球和2个黑球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，称为1次球交换的操作，重复
次这样的操作，记甲口袋中红球个数为
．
(1)求
；
(2)求
的概率分布列并求出
；
(3)证明：
．
次这样的操作，记甲口袋中红球个数为．(1)求
；(2)求
的概率分布列并求出；(3)证明：
．
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名校
解题方法
3 . 七选五型选择题组是许多类型考试的热门题型.为研究此类题型的选拔能力，建立以下模型.有数组
和数组
，规定
与
相配对则视为“正确配对”，反之皆为“错误配对”.设
为
时，对于任意
都不存在“正确配对”的配对方式数，即错排方式数.
(1)请直接写出
的值；
(2)已知
.
①对
和
进行随机配对，记为“正确配对”的个数.请写出的分布列并求
；
②试给出的证明.
和数组，规定与相配对则视为“正确配对”，反之皆为“错误配对”.设为时，对于任意都不存在“正确配对”的配对方式数，即错排方式数.(1)请直接写出
的值；(2)已知
.①对
和进行随机配对，记为“正确配对”的个数.请写出的分布列并求；②试给出
的证明.
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2023-09-25更新
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1178次组卷
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4卷引用：浙江省杭州第二中学2023届高三下学期4月月考数学试题
浙江省杭州第二中学2023届高三下学期4月月考数学试题安徽省卓越县中联盟2024届高三上学期第三次质量检测数学试题江苏省常州市前黄高级中学2024届高三下学期一模适应性考试数学试题（已下线）压轴题08计数原理、二项式定理、概率统计压轴题6题型汇总
4 . 下列说法正确的是（ ）
A．若随机变量 ，则 |
B．在含有 件次品的 件产品中，任取 件，表示取到的次品数，则 |
C．若随机变量 ， ，则 |
D．若随机变量 的概率分布列为 ，则 |
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2023-08-14更新
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295次组卷
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2卷引用：浙江省嘉兴市第五高级中学2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题
名校
解题方法
5 . 甲､乙两名运动员进行乒乓球比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，平局双方均得0分，比赛一直进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为
，乙获胜的概率为
，两人平局的概率为
，且每局比赛结果相互独立.
(1)若
，求甲学员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率；
(2)当
时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望
的最大值.
，乙获胜的概率为，两人平局的概率为，且每局比赛结果相互独立.(1)若
，求甲学员恰好在第4局比赛后赢得比赛的概率；(2)当
时，若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数的分布列及期望的最大值.
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2023-07-24更新
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992次组卷
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4卷引用：浙江省杭州第二中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题
名校
解题方法
6 . 已知两个离散型随机变量
，满足
，其中的分布列如下：
若
，则（ ）．
，满足，其中的分布列如下：
| 0 | 1 | 2 |
|
|
|
|
，则（ ）．A． | B． |
C． | D． |
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2023-07-05更新
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850次组卷
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3卷引用：浙江省杭州第二中学2023-2024学年高三上学期第一次月考数学试题
7 . 书籍是精神世界的入口，阅读让精神世界闪光，阅读逐渐成为许多人的一种生活习惯，每年4月23日为世界读书日．某研究机构为了解某地年轻人的阅读情况，通过随机抽样调查了
位年轻人，对这些人每天的阅读时间（单位：分钟）进行统计，得到样本的频率分布直方图，如图所示．
(1)根据频率分布直方图，估计这
位年轻人每天阅读时间的平均数
（单位：分钟）；（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）(2)若年轻人每天阅读时间
近似地服从正态分布
，其中
近似为样本平均数，求
；(3)为了进一步了解年轻人的阅读方式，研究机构采用分层抽样的方法从每天阅读时间位于分组
，
，
的年轻人中抽取10人，再从中任选3人进行调查，求抽到每天阅读时间位于的人数
的分布列和数学期望．附参考数据：若，则①
；②
；③
．
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2023-06-21更新
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2322次组卷
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21卷引用：浙江省余姚中学2023-2024学年高二下学期3月质量检测试题数学试卷
浙江省余姚中学2023-2024学年高二下学期3月质量检测试题数学试卷四川省成都市蓉城名校联盟2021-2022学年高三上学期第一次联考理科数学试题内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（理）福建省政和县第一中学2024届高三上学期第一次月考数学试题海南省临高县临高中学2024届高三上学期第一次月考数学试题四川省眉山市仁寿第一中学校南校区2024届高三上学期12月月考数学（理）试题陕西省渭南市临渭区渭南市三贤中学2024届高三上学期12月月考数学（理）试题（已下线）第十二章 统计与概率专练7—概率大题4-2022届高三数学一轮复习（已下线）考点50 正态分布【理】-备战2022年高考数学典型试题解读与变式陕西省渭南市2022届高三教学质量检测(一)理科数学试题宁夏吴忠市2022届高三模拟数学（理）试题江苏省苏州市高新区第一中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题山东省威海市文登新一中2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题 福建省政和县第一中学2022-2023学年高二下学期期中测试数学试题福建省三明市尤溪县第五中学等两校2021-2022学年高二下学期期中联考数学试题河北省保定市六校联盟2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题重庆市巴南区2024届高三诊断（一）数学试题（已下线）广东省深圳市深圳中学2024届高三上学期8月开学摸底数学试题福建省宁德第一中学2024届高三上学期学科素养训练（二模）数学试题四川省宜宾市南溪第一中学校2024届高三上学期一诊考试理科数学模拟试题（已下线）大招2 常见分布的辨析
名校
解题方法
8 . 随着人口老龄化的到来，我国的劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已经成为人们越来越关注的话题，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某校课外研究性学习小组对某社区随机抽取了5人进行调查，将调查情况进行整理后制成下表：
年龄在[25，30），[55，60）的被调查者中赞成人数分别是3人和2人，现从这两组的被调查者中各随机选取2人，进行跟踪调查．
(1)求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；
(2)求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；
(3)若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
| 年龄 | [20，25） | [25，30） | [30，35） | [35，40） | [40，45） |
| 人数 | 4 | 5 | 8 | 5 | 3 |
| 年龄 | [45，50） | [50，55） | [55，60） | [60，65） | [65，70） |
| 人数 | 6 | 7 | 3 | 5 | 4 |
(1)求年龄在[25，30）的被调查者中选取的2人都是赞成的概率；
(2)求选中的4人中，至少有3人赞成的概率；
(3)若选中的4人中，不赞成的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
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2023-06-15更新
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673次组卷
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2卷引用：浙江省杭金湖四校2023-2024学年高三上学期第六次联考数学试题
9-10高二下·北京·期末
名校
9 . 设随机变量的分布列如下：其中
成等差数列，若
，则方差
__________ .
的分布列如下：其中成等差数列，若，则方差 | -1 | 0 | 1 |
 |  |  |  |
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2023-06-14更新
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747次组卷
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14卷引用：2011届浙江省金华一中、慈溪中学、学军中学三校高三联考理科数学卷
（已下线）2011届浙江省金华一中、慈溪中学、学军中学三校高三联考理科数学卷（已下线）上海市华东师范大学第二附属中学2022-2023学年高二下学期5月月考数学试题北京市延庆区第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试卷（已下线）2010年北京市五中高二下学期期末考试理科数学卷（已下线）2011届四川省绵阳中学高三上学期入学考试理科数学卷（已下线）2010-2011年黑龙江省牡丹江一中高二下学期期中考试理科数学（已下线）考点72 离散型随机变量的均值与方差、正态分布-备战2022年高考数学一轮复习考点帮（新高考地区专用）【学科网名师堂】（已下线）模块一 专题2 概率(北师大2019版）（已下线）模块一 专题4 随机变量及其分布 (人教A）（已下线）模块三 专题2 小题进阶提升练（ 1 ）（北师大2019版 高二）（已下线）模块三 专题2 小题进阶提升练（ 1 ）（苏教版高二）（已下线）模块一 专题3 概率 (苏教版）吉林省长春外国语学校2022-2023学年高三上学期开学数学试题（已下线）第07讲 离散型随机变量的分布列与数字特征（六大题型）（讲义）
10 . 近日，抖音在北京、上海、成都开放商家自主入驻．为了从美团嘴里抢到肉，抖音采取了错位竞争的打法．首先，抖音配送并不求快．在立即配送之外，抖音增加了“预约点餐"形式，即可以预约后面几天的配送时间．
市餐饮行业协会为掌握本市抖音配送方式的服务质量水平，从用该形式就餐的人员中随机抽取了1000人，每人分别对其评分，满分为100分．随后整理评分数据，将得分分成6组：第1组
，第2组
，第3组
，第4组
，第5组
，第6组
，得到频率分布直方图，如图：
(1)求的值；
(2)现市餐饮行业协会针对本地区成年人使用抖音配送方式是否与性别有关联进行了问卷调查，在1000人中随机抽取了100名成年人样本进行分析．
（i）请完成列联表，依据小概率值
的独立性检验，能否认为使用抖音配送方式与性别有关?
（ii）现采用分层抽样从使用抖音配送方式的市民中抽取一个容量为8的样本，将该样本看成一个总体，从中随机抽取3人，用随机变量表示被抽到的男性顾客的人数，求的分布列和数学期望．
参考公式：
，其中
．
参考数据：
市餐饮行业协会为掌握本市抖音配送方式的服务质量水平，从用该形式就餐的人员中随机抽取了1000人，每人分别对其评分，满分为100分．随后整理评分数据，将得分分成6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组，得到频率分布直方图，如图： (1)求
的值；(2)现
市餐饮行业协会针对本地区成年人使用抖音配送方式是否与性别有关联进行了问卷调查，在1000人中随机抽取了100名成年人样本进行分析．（i）请完成列联表，依据小概率值
的独立性检验，能否认为使用抖音配送方式与性别有关?使用抖音配送方式 | 不使用抖音配送方式 | 总计 | |
女性 | 20 | ||
男性 | 10 | 50 | |
总计 |
表示被抽到的男性顾客的人数，求的分布列和数学期望．参考公式：
，其中．参考数据：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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