1 . 若一个学期有3次数学测试，已知甲同学每次数学测试的分数超过90分的概率为，乙同学每次数学测试的分数超过90分的概率为.
(1)求事件：“甲同学在3次测试中恰有1次超过90分且第2次测试的分数末超过90分”的概率；
(2)若这个学期甲同学数学测试的分数超过90分的次数为，乙同学数学测试的分数超过90分的次数为，求随机变量的方差.

2 . 第二十二届世界足球赛于2022年11月21日在卡塔尔举行，是历史上首次在中东国家境内举行，也是第二次再亚洲举行的世界杯足球赛，在此火热氛围中，某商场设计了一款足球游戏：场地上共有大、小2个球门，大门和小门依次射门，射进大门后才能进行小门射球，两次均进球后可得到一个世界杯吉祥物“拉伊卜”．已知甲、乙、丙3位顾客射进大门的概率均为，射进小门的概率依次为，，，假设各次进球与否互不影响．
(1)求这3人中至少有2人射进大门的概率；
(2)记这3人中得到“拉伊卜”的人数为X，求X的分布列及期望．

3 . 浙江省实行新高考改革方案以来，英语每年安排两次考试，第一次在1月与选考科目同期进行，称为“首考”，第二次在6月与语文、数学同期进行，称为“老高考”，考生可选用其中一次较好的成绩计入高考总分．英语在“首考”中“一考两用”，成绩既用于评定学业水平等级又可用于高考，学考合格后的考生，英语第二次考试成绩仅用于高考，不计算学考等第.2022年1月“首考”中，英语成绩达到117分及以上的考生，学考等第为A．某校为了解英语考试情况，随机抽取了该校男、女各名学生在“首考”中的英语考试成绩，情况如下表，并经过计算可得．

	男生	女生
A等
非A等

(1)从名学生中随机选择1人，已知选到的学生英语学考等第为A，求这个学生是男生的概率；
(2)从名女生中任意选2人，记这2人中获得A等的人数为，求的数学期望与方差．
附：，其中．
附表：

4 . 甲，乙两位同学组队去参加答题拿小豆的游戏，规则如下：甲同学先答2道题，至少答对一题后，乙同学才有机会答题，同样也是两次机会.每答对一道题得10粒小豆.已知甲每题答对的概率均为，乙第一题答对的概率为，第二题答对的概率为.若乙有机会答题的概率为.
(1)求;
(2)求甲，乙共同拿到小豆数量的分布列及期望.

5 . 为预防新冠肺炎，需做好个人的防护与自我检测，倡导个人每天做好体温检测工作．我国某体温仪生产厂商在加大生产的过程中，严格管控质量，随机做好体温仪质量抽检工作．该厂质检人员从某天所生产的体温仪中随机抽取了100个，依据质检指标值分成五组，并制成如下的频率分布直方图．

(1)规定：体温仪的质量指标值越高，质量越好，其中质量指标值低于40的为一级品，质量指标值不低于40的为特等品．现利用分层随机抽样的方法从样本体温仪中随机抽取12个体温仪，再从抽取的12个体温仪中随机抽取3个，记其中特等品的个数为X，求X的分布列及期望．
(2)为节省检测成本，现采用混装的方式将所有的体温仪按200个一箱包装．已知一个一级体温仪的利润是20元，一个特等体温仪的利润是15元，以样本分布的频率作为总体分布的概率，试估计每箱体温仪的利润．

6 . 为满足市场需求，某公司开发了一种新型零件制造机器，因技术还不成熟，每天生产机器需要预热2小时，用表示预热期的零件尺寸（单位：），满足.机器正常后，生产的零件尺寸用表示，满足，该公司每天生产10小时.
(1)若零件尺寸在之间，则认为是合格品，则预热期和正常生产时生产出来的产品是合格品的概率（取两位有效数字）；
(2)若机器的生产效率一直稳定不变，从生产的产品中任取一件，已知取到的是合格品，求它来自预热期的概率（取两位有效数字）；
(3)预热期和正常生产时生产出来的合格品分开摆放，抽取2个预热期和5个正常生产时生产的合格品组成样本，不放回地抽取，直至首次取到正常期生产的合格品时结束，记抽取的次数为，求期望.
附：， ，

7 . 近两年，新冠疫情给人们的生活带来了极大的改变，各国的科学家对该病毒进行研究，取得了不错的进展.对新冠的研究，有病理上的研究和统计学上的研究.某统计学家对20000份核酸检测呈阳性的病人进行追踪统计，得到如下统计表：

	无症状人数	轻症状人数	重症状人数	病危人数	合计
人数	4000	8000	6000	2000	20000
治愈率	100%	95%	80%	60%

由于统计的样本足够多，所以上述频率可以看成其发生的概率.
(1)用随机变量表示事件无症状，表示事件轻症状，表示事件重症状，表示事件病危，求随机变量X的分布列，并求其期望和方差；
(2)新冠疫苗的作用之一就是降低重症状和病危的概率，使得重症状人数的一半和病危人数的一半转化为轻症状者.某人在核酸普查中很遗憾地发现呈阳性，但幸运的是他曾经打过新冠疫苗，求他能被治愈的概率.

8 . 为弘扬中国传统文化，某电视台举行国宝知识大赛，先进行预赛，规则如下：①有易､中､难三类题，共进行四轮比赛，每轮选手自行选择一类题，随机抽出该类题中的一个回答；②答对得分，答错不得分；③四轮答题中，每类题最多选择两次.四轮答题得分总和不低于10分进入决赛.选手甲答对各题是相互独立的，答对每类题的概率及得分如下表：

	容易题	中等题	难题
答对概率	0.6	0.5	0.3
答对得分	3	4	5

(1)若甲前两轮都选择了中等题，并只答对了一个，你认为他后两轮应该怎样选择答题，并说明理由；
(2)甲四轮答题中，选择了一个容易题､两个中等题､一个难题，若容易题答对，记甲预赛四轮得分总和为，求随机变量的数学期望.

9 . 学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为；参加“四人赛”活动（每天两局）时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p，．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动（每天两局），各局比赛互不影响．
(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X的分布列和数学期望；
(2)设李明在这5天的“四人赛”活动（每天两局）中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为．求p为何值时，取得最大值．

10 . 为丰富师生的课余文化生活，倡导“每一天健身一小时，健康生活一辈子”，深入开展健身运动，增强学生的身体素质和团队的凝聚力，某中学将举行趣味运动会.某班共有10名同学报名参加“四人五足”游戏，其中男同学6名，女同学4名.按照游戏规则，每班只能选4名同学参加这个游戏，因此要从这10名报名的同学中随机选出4名，记其中男同学的人数为.
(1)求选出的4名同学中只有女生的概率；
(2)求随机变量的分布列及数学期望.