1 . 已知复平面上的点对应的复数满足，设点的运动轨迹为．点对应的数是0．
(1)证明是一个双曲线并求其离心率；
(2)设的右焦点为，其长半轴长为，点到直线的距离为（点在的右支上），证明：；
(3)设的两条渐近线分别为，过分别作的平行线分别交于点，则平行四边形的面积是否是定值？若是，求该定值；若不是，说明理由．

2 . 设复数满足的辐角的主值为，的模为，求复数.（用代数形式表示）

3 . 记复数的一个构造:从数集中随机取出2个不同的数作为复数的实部和虚部.重复次这样的构造，可得到个复数，将它们的乘积记为.已知复数具有运算性质:，其中.
(1)当时，记的取值为，求的分布列;
(2)当时，求满足的概率;
(3)求的概率.

4 . 对于非空集合，定义其在某一运算（统称乘法）“×”下的代数结构称为“群”，简记为．而判断是否为一个群，需验证以下三点：
1.（封闭性）对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；
2.（结合律）对于规定的“×”运算，对任意，都须满足；
3.（恒等元）存在，使得对任意，；
4.（逆的存在性）对任意，都存在，使得．
记群所含的元素个数为，则群也称作“阶群”．若群的“×”运算满足交换律，即对任意，，我们称为一个阿贝尔群（或交换群）．
(1)证明：所有实数在普通加法运算下构成群；
(2)记为所有模长为1的复数构成的集合，请找出一个合适的“×”运算使得在该运算下构成一个群，并说明理由；
(3)所有阶数小于等于四的群是否都是阿贝尔群？请说明理由．

5 . 设M是由复数组成的集合，对M的一个子集A，若存在复平面上的一个圆，使得A的所有数在复平面上对应的点都在圆内或圆周上，且中的数对应的点都在圆外，则称A是一个M的“可分离子集”．
(1)判断是否是的“可分离子集”，并说明理由；
(2)设复数z满足，其中分别表示z的实部和虚部．证明：是的“可分离子集”当且仅当．

6 . 下面是应用公式，求最值的三种解法，答案却各不同，哪个解答错？错在哪里？已知复数为纯虚数，求的最大值.
解法一：∵，
又∵是纯虚数，令（且），
∴.
故当时，即当时，所求式有最大值为.
解法二：∵，∴.
故所求式有最大值为.
解法三：∵，
又∵为纯虚数，∴，
∴.
故所求式有最大值为.

7 . （1）在复平面上画出与以下复数，，，分别对应的点，，，．，，，．
（2）求向量，，，的模．
（3）点，，，中是否存在两个点关于实轴对称？若存在，则它们所对应的复数有什么关系？

8 . 已知复数，其中.
(1)当时，表示实数；当时，表示纯虚数.求的值.
(2)复数的长度记作，求的最大值.

9 . 设是一个关于复数z的表达式，若（其中x，y，，为虚数单位），就称f将点“f对应”到点．例如将点“f对应”到点．
(1)若点“f对应”到点，点“f对应”到点，求点、的坐标；
(2)设常数，，若直线l：，，是否存在一个有序实数对，使得直线l上的任意一点“对应”到点后，点Q仍在直线上？若存在，试求出所有的有序实数对；若不存在，请说明理由；
(3)设常数，，集合且和且，若满足：①对于集合D中的任意一个元素z，都有；②对于集合A中的任意一个元素，都存在集合D中的元素z使得．请写出满足条件的一个有序实数对，并论证此时的满足条件．

10 . 在复平面内，已知对应的复数，对应的复数.
(1)判断：是否成立？并说明理由；
(2)若对应的复数为z，且，求点P所在区域的面积.