1 . 定义：若函数在某一区间D上任取两个实数，且，都有，则称函数在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）判断函数在区间上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数在区间上具有性质L，求实数a的取值范围．

2 . 设，.
（1）求证：.
（2）单调递增时，是否有？请证明.

3 . 已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的成立，则称函数是“类周期函数”.
(1)判断函数，是否是“类周期函数”，并证明你的结论；
(2)求证：若函数是“类周期函数”，且是偶函数，则是周期函数；
(3)求证：当时，函数一定是“类周期函数”.

4 . 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数，对于定义域内的任意，均有成立，称数对为函数的“伴随数对”.
（1）判断函数是否属于集合，并说明理由；
（2）试证明：假设为定义在上的函数，且，若其“伴随数对”满足，求证：恒成立；
（3）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”.

5 . 已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足下列条件：①f（x）不恒为0；②对任意的正实数x和任意的实数y都有f（x^y）=y•f（x）．
（1）求证：方程f（x）=0有且仅有一个实数根；
（2）设a为大于1的常数，且f（a）＞0，试判断f（x）的单调性，并予以证明；
（3）若a＞b＞c＞1，且，求证：f（a）•f（c）＜[f（b）]²．

6 . 已知函数，且是定义在上的奇函数．
（1）求实数t的值并判断函数的单调性（不需要证明）；
（2）关于x的不等式在上恒成立，求实数b的取值范围；
（3）若在上有两个零点，求证：且．

7 . 已知函数，函数是函数的反函数.
求函数的解析式，并写出定义域；
设，判断并证明函数在区间上的单调性:
若中的函数在区间内的图像是不间断的光滑曲线，求证:函数在区间内必有唯一的零点(假设为)，且.

8 . 已知函数的定义域是且，，当时，.
（1）求证：是奇函数；
（2）求在区间上的解析式；
（3）是否存在正整数，使得当时，不等式有解？证明你的结论.

9 . 对于定义在上的函数，如果存在两条平行直线与，使得对于任意，都有恒成立，那么称函数是带状函数，若，之间的最小距离存在，则称为带宽.
（1）判断函数是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，说明理由；
（2）求证：函数（）是带状函数；
（3）求证：函数（）为带状函数的充要条件是.

10 . 我们知道一次函数、二次函数的图像都是连续不断的曲线，事实上，多项式函数的图像都是如此.
（1）设，且，若还有，求证：；
（2）设一个多项式函数有奇次项（），求证：总能通过只调整的系数，使得调整后的多项式一定有零点；
（3）现有未知数为的多项式方程（其中实数待定），甲、乙两人进行一个游戏：由甲开始交替确定中的一个数（每次只能去确定剩余还未定的数），当甲确定最后一个数后，若方程由实数解，则乙胜，反之甲胜，问：乙有必胜的策略吗？若有，请给出策略并证明，若无，请说明理由.