1 . 已知定义域为R的奇函数,当时,,下列叙述正确的是( )
A.当时,关于的方程有6个不相等的实数根 |
B.当时,有 |
C.当时,的最小值为1,则 |
D.若关于的方程和的所有实数根之和为零,则 |
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解题方法
2 . 已知函数的定义域为.
(1)求的值,并证明在上单调递增;
(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
(1)求的值,并证明在上单调递增;
(2)若不等式对任意恒成立,求实数的取值范围.
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名校
3 . 集合是由个正整数组成的集合,如果任意去掉其中一个元素之后,剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空的集合,且这两个集合的所有元素之和相等,就称集合为“可分集合”.
(1)判断集合、是否为“可分集合”(不用说明理由);
(2)求证:五个元素的集合一定不是“可分集合”;
(3)若集合是“可分集合”,证明是奇数.
(1)判断集合、是否为“可分集合”(不用说明理由);
(2)求证:五个元素的集合一定不是“可分集合”;
(3)若集合是“可分集合”,证明是奇数.
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解题方法
4 . 设函数(且).
(1)判断函数的奇偶性;
(2)若,试判断函数的单调性(不需要证明).并求使不等式对一切恒成立的t的取值范围;
(3)若,且在上的最小值为,求的值.
(1)判断函数的奇偶性;
(2)若,试判断函数的单调性(不需要证明).并求使不等式对一切恒成立的t的取值范围;
(3)若,且在上的最小值为,求的值.
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23-24高一上·上海·期中
名校
5 . 对于正整数,定义.对于任意的,称为的第个分量,称是的一个“协同子集”.如果同时满足:①的元素个数不少于;②对于任何、、,存在,使得、、的第个分量都是.
(1)对于,若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”,且其中两个元素是和,直接写出另外两个元素;
(2)证明:若是的一个“协同子集”,则的元素个数不超过;
(3)证明:若是的一个“协同子集”,且的元素个数恰好是,则存在唯一的,使得中所有元素的第个分量都是.
(1)对于,若是的一个恰好含有四个元素的“协同子集”,且其中两个元素是和,直接写出另外两个元素;
(2)证明:若是的一个“协同子集”,则的元素个数不超过;
(3)证明:若是的一个“协同子集”,且的元素个数恰好是,则存在唯一的,使得中所有元素的第个分量都是.
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解题方法
6 . 已知函数是定义域在上的奇函数.
(1)求a,b;
(2)判断在上的单调性,并予以证明.
(3)函数,若在上的值域是,求m,n的值.
(1)求a,b;
(2)判断在上的单调性,并予以证明.
(3)函数,若在上的值域是,求m,n的值.
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名校
7 . 对于函数,若,则称为的“不动点”,若,则称为的“稳定点”,函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和,即,,那么,
(1)求函数的“稳定点”;
(2)求证:;
(3)若,且,求实数的取值范围.
(1)求函数的“稳定点”;
(2)求证:;
(3)若,且,求实数的取值范围.
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解题方法
8 . 已知函数的图象关于原点对称.
(1)求实数m的值;
(2)用定义证明函数在定义域上的单调性;
(3)设函数(且)在上的最小值为1,求a的值.
(1)求实数m的值;
(2)用定义证明函数在定义域上的单调性;
(3)设函数(且)在上的最小值为1,求a的值.
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9 . 定义1:通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族(collection).
定义2:集合上的一个拓扑(topology)乃是的子集为元素的一个族,它满足以下条件:(1)和在中;(2)的任意子集的元素的并在中;(3)的任意有限子集的元素的交在中.
(1)族,族,判断族与族是否为集合的拓扑;
(2)设有限集为全集
(i)证明:;
(ii)族为集合上的一个拓扑,证明:由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑.
定义2:集合上的一个拓扑(topology)乃是的子集为元素的一个族,它满足以下条件:(1)和在中;(2)的任意子集的元素的并在中;(3)的任意有限子集的元素的交在中.
(1)族,族,判断族与族是否为集合的拓扑;
(2)设有限集为全集
(i)证明:;
(ii)族为集合上的一个拓扑,证明:由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑.
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名校
10 . 已知函数,(,a为常数).
(1)讨论函数的奇偶性;
(2)若函数有3个零点,求实数a的取值范围;
(3)记,若与在有两个互异的交点,且,求证:.
(1)讨论函数的奇偶性;
(2)若函数有3个零点,求实数a的取值范围;
(3)记,若与在有两个互异的交点,且,求证:.
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