解题方法
1 . 对于函数
，函数图象上任意一点A关于点P的对称点
仍在函数图象上，那么称点P为函数图象的对称中心.如果
足够大时，图象上的点到直线
的距离比任意给定的正数还要小，那么称函数图象无限趋近于该直线，也称直线是函数图象的非垂直渐近线.
(1)研究函数
的性质，填表但无需过程：
(2)根据（1），在所给的坐标系中，画出大致图象，如有对称中心，则在图象中标为点P，如有非垂直渐近线，用虚线画出;
(3)由（1）（2），选择以下两个问题之一来答题.
①如果函数的图象有对称中心，请根据题设的定义来证明，如果没有，请说明理由；
②请根据题设的定义，证明：函数的图象在x轴上方，且无限趋近于x轴，但永不相交.
，函数图象上任意一点A关于点P的对称点仍在函数图象上，那么称点P为函数图象的对称中心.如果足够大时，图象上的点到直线的距离比任意给定的正数还要小，那么称函数图象无限趋近于该直线，也称直线是函数图象的非垂直渐近线.(1)研究函数
的性质，填表但无需过程：| 值域 | |
| 单调性 | |
| 奇偶性 | |
| 图象对称中心 | |
| 图象非垂直渐近线 |
(2)根据（1），在所给的坐标系中，画出大致图象，如有对称中心，则在图象中标为点P，如有非垂直渐近线，用虚线画出;
(3)由（1）（2），选择以下两个问题之一来答题.
①如果函数
的图象有对称中心，请根据题设的定义来证明，如果没有，请说明理由；②请根据题设的定义，证明：函数
的图象在x轴上方，且无限趋近于x轴，但永不相交.
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名校
解题方法
2 . 已知函数
，
．
(1)当
时，若
有最大值4，求
的值；
(2)求满足下列条件的所有整数对
：存在
，使得
是的最大值，
是
的最小值；
(3)对满足（2）中的条件的整数对，已知定义域为
且
的函数
满足：
，且当
时，
．若函数
的零点的个数为4个，求实数m的取值范围．
，．(1)当
时，若有最大值4，求的值；(2)求满足下列条件的所有整数对
：存在，使得是的最大值，是的最小值；(3)对满足（2）中的条件的整数对
，已知定义域为且的函数满足：，且当时，．若函数的零点的个数为4个，求实数m的取值范围．
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2023-04-13更新
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198次组卷
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5卷引用：上海市复旦大学附属中学2021届高三上学期第一次教学质量检测数学试题
上海市复旦大学附属中学2021届高三上学期第一次教学质量检测数学试题上海交通大学附属中学嘉定分校2022-2023学年高一下学期开学考试数学试题（已下线）5.3 函数的应用-同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）（已下线）第04讲 函数最值与性质 - 1江西省上犹中学2022-2023学年高一下学期4月期中考试数学试题
名校
3 . 已知集合
，
，
，对任意
，定义
.若存在正整数
，使得对任意
，都有
，则称集合
具有性质
.如集合
、
都具有性质
.记
是集合
中的最大值.
(1)判断集合
和集合
是否具有性质（直接写出结论）；
(2)若集合具有性质
，求证：
和
；
(3)若集合具有性质
，求证：
.
，，，对任意，定义.若存在正整数，使得对任意，都有，则称集合具有性质.如集合、都具有性质.记是集合中的最大值.(1)判断集合
和集合是否具有性质（直接写出结论）；(2)若集合
具有性质，求证：和；(3)若集合
具有性质，求证：.
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2022-12-26更新
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411次组卷
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4卷引用：上海市曹杨第二中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题
上海市曹杨第二中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题（已下线）第1章 集合与逻辑 单元测试（单元重点）--高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第一册）上海师范大学附属中学闵行分校2023-2024学年高一上学期期中数学试题广西名校2024届高三高考模拟猜题试卷
名校
解题方法
4 . 设
.
(1)求不等式
的解集
；
(2)若函数
在
上最小值为
，求实数的值；
(3)若对任意的正实数，存在
，使得
，求实数
的最大值.
.(1)求不等式
的解集；(2)若函数
在上最小值为，求实数的值；(3)若对任意的正实数
，存在，使得，求实数的最大值.
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名校
5 . 若函数
与
对任意
，总存在唯一的
，使
成立，则称是在区间
上"阶伴随函数”；当
时，则称为区间上的“阶自伴函数”
(1)判断
是否为区间
上的“2阶自伴函数"?并说明理由；
(2)若函数
为区间
上的“1阶自伴函数"，求
的最小值.
(3)若
是
在区间
上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围.
与对任意，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上"阶伴随函数”；当时，则称为区间上的“阶自伴函数”(1)判断
是否为区间上的“2阶自伴函数"?并说明理由；(2)若函数
为区间上的“1阶自伴函数"，求的最小值.(3)若
是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数的取值范围.
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2022-12-03更新
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223次组卷
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4卷引用：上海市南洋模范中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题
上海市南洋模范中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题（已下线）第03讲 对数函数（教师版）-【帮课堂】2021-2022学年高一数学同步精品讲义（苏教版2019必修第一册）江苏省南通市通州高级中学2020-2021学年高一上学期12月“一市一所”教育联盟第一次联测数学试题江苏省泰州中学2022-2023学年高二下学期5月检测数学试题
名校
解题方法
6 . 设集合
为非空数集，定义
，、
，
，、．
(1)若
，
，写出集合
、
；
(2)若
，
，
，
，
，且
，求证：
；
(3)若
，
且
，求集合元素个数的最大值．
为非空数集，定义，、，，、．(1)若
，，写出集合、；(2)若
，，，，，且，求证：；(3)若
，且，求集合元素个数的最大值．
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2022-02-14更新
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1246次组卷
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6卷引用：上海市黄浦区大同中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题
上海市黄浦区大同中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题（已下线）上海高一上学期期中【压轴42题专练】（2）（已下线）第1章 集合与逻辑（基础、典型、新文化、压轴）分类专项训练-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（沪教版2020必修第一册）（已下线）专题03集合的运算2-【倍速学习法】（沪教版2020必修第一册）（已下线）专题01集合及其运算-2022年新高三数学暑假自学课精讲精练第1章 集合 单元综合检测（难点)
名校
7 . 已知函数
，记
.
(1)解不等式：
；
(2)设为实数，若存在实数
，使得
成立，求的取值范围；
(3)记
（其中，
均为实数），若对于任意的
，均有
，求，的值.
，记.(1)解不等式：
；(2)设
为实数，若存在实数，使得成立，求的取值范围；(3)记
（其中，均为实数），若对于任意的，均有，求，的值.
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2022-02-13更新
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469次组卷
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3卷引用：上海市黄浦区大同中学2021-2022学年高一上学期12月月考数学试题
上海市黄浦区大同中学2021-2022学年高一上学期12月月考数学试题（已下线）第5章 函数的概念、性质及应用（基础、典型、易错、压轴）分项训练-2022-2023学年高一数学考试满分全攻略（沪教版2020必修一）上海市新川中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
名校
8 . 定义在D上的函数，如果满足：存在常数
，对任意
，都有
成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．
(1)证明
在
上是有界函数；
(2)设，
，若函数、
在D上分别以M、N为上界，判断函数
在D上是否为有界函数，若是，写出的一个上界；
(3)若函数
在
上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
，如果满足：存在常数，对任意，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界．(1)证明
在上是有界函数；(2)设
，，若函数、在D上分别以M、N为上界，判断函数在D上是否为有界函数，若是，写出的一个上界；(3)若函数
在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．
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名校
解题方法
9 . 若函数满足：对其定义域D内的任意一个，都有
，则称函数是封闭的．
(1)试判断函数
和
是否封闭，并说明理由；
(2)若函数
在定义域上是封闭的，求a的取值范围；
(3)已知函数在其定义域D上封闭，且在D上严格增，若
，且
，求证：
．
满足：对其定义域D内的任意一个，都有，则称函数是封闭的．(1)试判断函数
和是否封闭，并说明理由；(2)若函数
在定义域上是封闭的，求a的取值范围；(3)已知函数
在其定义域D上封闭，且在D上严格增，若，且，求证：．
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名校
10 . 已知实数
不全为0，给定函数
，
．记方程
的解集为，方程
的解集为
，若满足
，则称
为一对“太极函数”．问：
(1)当
，时，验证是否为一对“太极函救”；
(2)若为一对“太极函数”，求
的值；
(3)已知为一对“太极函数”，若
，
，方程存在正根，求
的取值范围（用含有的代数式表示）．
不全为0，给定函数，．记方程的解集为，方程的解集为，若满足，则称为一对“太极函数”．问：(1)当
，时，验证是否为一对“太极函救”；(2)若
为一对“太极函数”，求的值；(3)已知
为一对“太极函数”，若，，方程存在正根，求的取值范围（用含有的代数式表示）．
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2021-11-09更新
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647次组卷
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3卷引用：上海市上海中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题
