1 . 设，函数.
(1)若，求证：函数是奇函数；
(2)若，判断并证明函数的单调性；
(3)设，，若存在实数m，n（），使得函数在区间[m，n]上的取值范围是，求的取值范围.

2 . 求证：是非奇非偶函数，证明如下： ，这种证法正确吗？若正确，说明理由；若不正确，请给出正确的证法.

3 . 已知集合，且．
（1）证明：若，则是偶数；
（2）设，且，求实数的值；
（3）设，求证：；并求满足的的值．

4 . 对于集合，其中每个元素均为正整数，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成集合，并且都能分为两个集合和，满足，，其中和的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.
（1）判断集合和是否是“可分集合”(不必写过程)；
（2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；
（3）若集合是“可分集合”.
①证明：为奇数；
②求集合中元素个数的最小值.

5 . 定义：若函数在某一区间D上任取两个实数，且，都有，则称函数在区间D上具有性质L．
（1）写出一个在其定义域上具有性质L的对数函数（不要求证明）．
（2）判断函数在区间上是否具有性质L？并用所给定义证明你的结论．
（3）若函数在区间上具有性质L，求实数a的取值范围．

6 . 已知函数
（1）若，求证：函数恰有一个正零点；（用图像法证明不给分）
（2）若函数恰有三个零点，求实数取值范围.

7 . 已知集合
（1）证明：若，则是偶数；
（2）设，且，求实数的值；
（3）设，求证：；并求满足不等式的的值.

8 . 定义：有限非空数集的所有元素的“乘积”称为数集的“积数”，例如：集合，其“积数”.
（1）若有限数集，求证：集合的所有非空子集的“积数”之和满足；
（2）根据（1）的结论，对于有限非空数集（），记集合A的所有非空子集的“积数”之和，试写出的表达式，并利用“数学归纳法”给予证明；
（3）若有限集，
①试求由中所有奇数个元素构成的非空子集的“积数”之和_奇数；
②试求由中所有偶数个元素构成的非空子集的“积数”之和_偶数.

9 . 已知函数对任意，总有，且当时， ，，
(Ⅰ)求证：函数是奇函数；
(Ⅱ)利用函数的单调性定义证明，在上的单调递减；
(Ⅲ)若不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.

10 . 已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在实数，对于定义域内的任意，均有成立，称数对为函数的“伴随数对”.
（1）判断函数是否属于集合，并说明理由；
（2）试证明：假设为定义在上的函数，且，若其“伴随数对”满足，求证：恒成立；
（3）若函数，求满足条件的函数的所有“伴随数对”.