1 . 如图，是直角梯形底边的中点，，，，将沿折起形成四棱锥.
   
(1)求证：平面；
(2)若二面角为，求二面角的余弦值.

2 . 如图，在三棱锥中，.点是的中点，，连接.
   
(1)求证：平面平面；
(2)求点到平面的距离.

3 . 如图，四棱锥的底面是平行四边形，平面平面，是边长为4的等边三角形，，，是上一点．

   

(1)若是的中点，证明：平面；
(2)若平面平面，求的值．

5 . 如图1，在四边形中，，，.为的中点，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的几何体.
   
(1)证明：平面；
(2)若为上靠近点的三等分点，求二面角的余弦值.

6 . 如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，经过，，三点的平面记为平面，点是侧面内的动点，且.

   

(1)设平面，求证：；
(2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）；
(3)当最小时，求三棱锥的外接球的表面积.

7 . 如图，平面平面，四边形为矩形，且为线段上的动点，，，，.

   

(1)当为线段的中点时，
（i）求证：平面；
（ii）求直线与平面所成角的正弦值；
(2)记直线与平面所成角为，平面与平面的夹角为，是否存在点使得?若存在，求出；若不存在，说明理由.

8 . 如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，AC与BD相交于点O，E为CD的中点，，，

(1)证明：平面平面ABCD；
(2)当点A到平面PCD的距离最大时，求侧面PAB与底面ABCD所成二面角的大小．

9 . 如图，在直三棱柱中，平面平面，
   
(1)求证：平面；
(2)若直线与平面所成角为，二面角的大小为，试判断，的大小关系，并予以证明.

10 . 如图，在长方体中，点在平面的射影为．
   
(1)证明：为的垂心．
(2)若，且点在平面的射影为点，求三棱锥的体积．