1 . 设，函数，.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数有两个零点，，试证明：.

3 . 已知函数的定义域为R，对任意的都满足，当时，
(1)判断并证明函数的奇偶性
(2)判断并证明函数的单调性
(3)若对所有的均成立，求m的范围

4 . 定义：为实数对的“正弦方差”.
（1）若，证明：实数对的“正弦方差”的值是与无关的定值；
（2）若，若实数对的“正弦方差”的值是与无关的定值，求值.

5 . 已知函数的定义域为区间D，若对于给定的非零实数m，存在，使得，则称函数在区间D上具有性质.
(1)判断函数在区间上是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数在区间上具有性质，求n的取值范围；
(3)已知函数的图像是连续不断的曲线，且，求证：函数在区间上具有性质.

6 . 已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再向下平移（）个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为2．
（ⅰ）求函数的解析式；   （ⅱ）证明：存在无穷多个互不相同的正整数，使得．