1 . 已知是定义在上的奇函数，且时有．
(1)写出函数的单调区间（不要证明）；
(2)解不等式；
(3)求函数在,上的最大值和最小值．

2 . 若数列的前项和满足．
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设，记数列的前项和为，证明：对任意的正整数，都有.

3 . 已知数列满足，．
(1)证明：数列为等差数列，并求出数列的通项公式；
(2)设数列满足，为数列的前n项和，
①求数列的前n项和；
②若在，上恒成立，求的取值范围．

4 . 已知函数，其中．
(1)是否存在实数，使函数是奇函数？若存在，请写出证明．
(2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．

5 . 设正整数数列，，，满足，其中.如果存在，3，，，使得数列中任意项的算术平均值均为整数，则称为“阶平衡数列”
(1)判断数列2，4，6，8，10和数列1，5，9，13，17是否为“4阶平衡数列”？
(2)若为偶数，证明：数列，2，3，，不是“阶平衡数列”，其中
(3)如果，且对于任意，数列均为“阶平衡数列”，求数列中所有元素之和的最大值．

6 . “我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一大块麦田里玩，几千几万的小孩子，附近没有一个大人，我是说，除了我.”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块平面四边形的麦田里成为守望者.如图所示，为了分割麦田，他将B、D连接，经测量知，.

(1)霍尔顿发现无论多长，都为一个定值.请你证明霍尔顿的结论，并求出这个定值；
(2)霍尔顿发现小麦的生长和发育与分割土地面积的平方和呈正相关关系.记与的面积分别为和，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出的最大值.

7 . 若实数、、满足，则称比远离．
(1)若比远离，求的取值范围；
(2)对任意正数，，证明：；
(3)对任意两个不相等的正数，，证明：比远离．

8 . 如图，在正方体中，分别为的中点.

   

(1)求证：平面；
(2)若正方体的棱长为4，求二面角的正弦值.

9 . 已知数列的前n项和．
(1)求证：数列是等差数列；
(2)令，求的表达式．

10 . 已知数列各项均为正数，且满足，.
(1)求证：数列为等比数列；
(2)令，求数列的前项和.