1 . 已知数列的前n项和为，且满足，．
(1)判断是否为等差数列？并证明你的结论；
(2)求和；
(3)求证：．

2 . 对于任意的，若数列同时满足下列两个条件，则称数列具有“性质m”：
①；②存在实数M，使得成立．
(1)数列、中，，判断、是否具有“性质m”；
(2)设各项为正数的等比数列的前n项和为，且，，数列是否具有“性质m”，若具有，请证明你的猜想，并指出M的范围；若不具有，理由？
(3)若数列的通项公式．对于任意的（），数列具有“性质m”，且对满足条件的M的最小值，求证：．

3 . 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
(1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
(2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
(3)设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．

4 . 设正项数列的前项和为，首项为1，已知对任意整数，当时，（为正常数）恒成立．
(1)求证：数列是等比数列；
(2)证明：数列是递增数列；
(3)是否存在正常数，使得为等差数列？若存在，求出常数的值；若不存在，说明理由．

6 . 已知数列的首项，．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且，，成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

7 . 已知数列中，，，.设.
(1)证明：数列是等比数列；
(2)设数列的前项的和为，求.
(3)设，设数列的前项和，求证：.

8 . 定义：对于一个项数为的数列，若存在且，使得数列的前项和与剩下项的和相等(若仅为1项，则和为该项本身)，我们称该数列是“等和数列”例如：因为3=2+1，所以数列3，2，1是“等和数列”.请解答以下问题：
（1）数列是“等和数列”，求实数的值；
（2）设数列通项公式为，且共有项，证明：不是等和数列；
（3）项数为的等差数列的前项和为，求证：是“等和数列”

9 . 已知实数满足；
（1）求证：；
（2）将上述不等式加以推广，把的分子改为另一个大于的自然数，使得对任意的恒成立，请加以证明；
（3）从另一角度推广，自然数满足什么条件时，不等式对任意恒成立，请加以证明.

10 . 对于给定的数列，，设，即是，，…，中的最大值，则称数列是数列，的“和谐数列”．
（1）设，，求，，的值，并证明数列是等差数列；
（2）设数列，都是公比为q的正项等比数列，若数列是等差数列，求公比q的取值范围；
（3）设数列满足，数列是数列，的“和谐数列”，且（m为常数，，2，…，k），求证：．