1 . 已知函数的定义域为实数集，及整数、；
（1）若函数，证明；
（2）若，且（其中为正的常数），试证明：函数为周期函数；
（3）若，且当时，，记，求使得小于1000都成立的最大整数.

2 . 已知数列满足：对任意的，若，则，且，设集合，集合A中元素最小值记为，集合A中元素最大值记为，如数列：时，，，.
（1）已知数列：，写出集合及；
（2）求证：不存在，
（3）求的最大值以及的最小值，并说明理由.

3 . 已知自变量为的函数的极大值点为，，为自然对数的底数.
（1）若，证明：有且仅有2个零点；
（2）若，，，…，为任意正实数，证明：.

4 . 记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令，.
（1）若，请写出的值；
（2）求证：“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件；
（3）若对任意，有，且，请问：是否存在，使得对于任意不小于的正整数，有成立？请说明理由.

5 . 已知二次函数满足以下两个条件：①不等式的解集是②函数在上的最小值是3.
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若点在函数的图象上，且.
（ⅰ）求证：数列为等比数列
（ⅱ）令，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在，指出的取值范围；若不存在，请说明理由.

6 . 在中，、、分别为角、、的对边，若.
（1）判断的形状，并证明；
（2）若，，为满足题设条件的所有中线段上任意一点（可与端点重合），求的最小值.

7 . 已知函数f（x）＝（m﹣1）x²+3x﹣2m，（m∈R）.
（1）解关于x的不等式f（x）+x²﹣1＜4x﹣m；
（2）若f（x）＜0的解集为（﹣4,1），g（x）＝f（x）﹣x+5，对于n∈N^*，证明：.

8 . 对于无穷数列，若，，则称数列是数列的“收缩数列”，其中分别表示中的最大项和最小项，已知数列的前n项和为，数列是数列的“收缩数列”
（1）若求数列的前n项和；
（2）证明：数列的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的数列．

9 . 已知数列和满足：，，，且对一切，均有.
（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和；
（3）设（），记数列的前n项和为，问：是否存在正整数，对一切，均有恒成立.若存在，求出所有正整数的值；若不存在，请说明理由.

10 . 已知数列满足，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，求证：当时，.