1 . 已知数列是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列.
（1）若数列的前项和为，且，，求整数的值；
（2）若，，，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；
（3）若，，（其中，且是的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项.

2 . 已知正整数数列满足：，，（）.
（1）已知，，试求、的值；
（2）若，求证：；
（3）求的取值范围.

3 . 已知数列满足（，且），且，设，，数列满足.
（1）求证：数列是等比数列并求出数列的通项公式；
（2）求数列的前n项和；
（3）对于任意，，恒成立，求实数m的取值范围.

4 . 定义集合与集合之差是由所有属于且不属于的元素组成的集合，记作 且．已知集合．
（Ⅰ）若集合，写出集合的所有元素；
（Ⅱ）从集合选出10个元素由小到大构成等差数列，其中公差的最大值和最小值分别是多少？公差为和的等差数列各有多少个？
（Ⅲ）设集合,且集合中含有10个元素，证明：集合中必有10个元素组成等差数列．

5 . 已知数列，满足，，设数列的前项和为．
求证：（I）；
（Ⅱ）；
（Ⅲ）．

6 . 对于项数为（）的有穷正整数数列,记（），即为中的最大值，称数列为数列的“创新数列”.比如的“创新数列”为.
（1）若数列的“创新数列”为1,2,3,4,4，写出所有可能的数列；
（2）设数列为数列的“创新数列”，满足（），求证：（）；
（3）设数列为数列的“创新数列”，数列中的项互不相等且所有项的和等于所有项的积，求出所有的数列.

7 . （改编）已知正数数列的前项和为，且满足；在数列中，
（1）求数列和的通项公式；
（2）设，数列的前项和为. 若对任意，存在实数，使恒成立，求的最小值；
（3）记数列的前项和为，证明：.

8 . 数列满足条件：，其中.证明：对于任意的正整数，有如下结果成立.
（Ⅰ）数列为等比数列；
（Ⅱ）记数列，则数列为单调递减数列；
（Ⅲ）.

9 . 记无穷数列的前项中最大值为，最小值为，令
（Ⅰ）若，请写出的值；
（Ⅱ）求证:“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充要条件；
（Ⅲ）若 ，求证:存在，使得，有

10 . 对于数列，记则称数列为数列的“k阶塑数列”，(1)已知，①若为等比数列，求的值
②设t为任意正数，证明：存在，当时总有；
(2)已知，若且对恒成立，求的取值范围.