1 . 对于项数为的数列，若数列满足，，其中，表示数集中最大的数，则称数列是的数列.
(1)若各项均为正整数的数列的数列是，写出所有的数列；
(2)证明：若数列中存在使得，则存在使得成立；
(3)数列是的数列，数列是的数列，定义其中．求证：为单调递增数列的充要条件是为单调递增数列．

2 . 对于数列，如果存在正整数，使得对任意，都有，那么数列就叫做周期数列，叫做这个数列的周期．若周期数列，满足：存在正整数，对每一个，都有，我们称数列和为“同根数列”．
(1)判断下列数列是否为周期数列．如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由；
①；②
(2)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是3和5，求证：；
(3)若和是“同根数列”，且周期的最小值分别是和，求的最大值．

3 . 若有穷数列满足：，则称此数列具有性质.
(1)若数列具有性质，求的值；
(2)设数列A具有性质，且为奇数，当时，存在正整数，使得，求证：数列A为等差数列；
(3)把具有性质，且满足（为常数）的数列A构成的集合记作.求出所有的，使得对任意给定的，当数列时，数列A中一定有相同的两项，即存在.

4 . 若各项为正的无穷数列满足：对于，，其中为非零常数，则称数列为数列.记.
(1)判断无穷数列和是否是数列，并说明理由；
(2)若是数列，证明：数列中存在小于1的项；
(3)若是数列，证明：存在正整数，使得.

5 . 若有穷整数数列满足（），且各项均不相同，则称为数列．对数列，设，，则称数列为数列的导出数列．
(1)分别写出数列与的导出数列；
(2)是否存在数列使得其导出数列的各项之和为0？若存在，求出所有符合要求的数列；若不存在，说明理由；
(3)设数列与的导出数列分别为与，求证：的充分必要条件是．

6 . 给定整数，对于数列定义数列如下：，，其中表示，这个数中最小的数．记．
(1)若数列为①1，0，0，1；②1，2，3，4，5，6，7，分别写出相应的数列；
(2)求证：若，则有；
(3)若，常数使得恒成立，求的最大值．

7 . 设为无穷数列，给定正整数，如果对于任意，都有，则称数列具有性质．
(1)判断下列两个数列是否具有性质；（结论不需要证明）
①等差数列：5，3，1，…；②等比数列：1，2，4，…．
(2)已知数列具有性质，，，且由该数列所有项组成的集合，求的通项公式；
(3)若既具有性质又具有性质的数列一定是等差数列，求的最小值．

8 . 已知两个均含有项的有限数列，，其中对于，且．定义数列与之间的距离：．定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：；定义数列的“和序列”，其满足对于，，数列的项和记为：．
(1)已知数列，，求和；
(2)当且时，求的所有可能取值；
(3)当且时，求的最大值和最小值，并分别列举一对数列，，使取到最大值和最小值；
(4)求证：对于，当且是4的倍数时，的最小值为0；
(5)当，时，直接写出一对数列，，使得．

9 . 已知为无穷递增数列，且对于给定的正整数k，总存在i，j，使得，其中．令为满足的所有i中的最大值，为满足的所有j中的最小值．
(1)若无穷递增数列的前四项是1，2，3，5，求和的值；
(2)若是无穷等比数列，，公比q是大于1的整数，，求q的值；
(3)若是无穷等差数列，，公差为，其中m为常数，且，求证：和都是等差数列，并写出这两个数列的通项公式．

10 . 已知为正整数数列，满足．记．定义A的伴随数列如下：
①；
②，其中．
(1)若数列A：4，3，2，1，直接写出相应的伴随数列；
(2)当时，若，求证：；
(3)当时，若，求证：．