1 . 在初等数论中，对于大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它自然数整除的数叫做素数，对非零整数a和整数b，若存在整数k使得，则称a整除b.已知p，q为不同的两个素数，数列是公差为p的等差整数数列，为q除所得的余数，为数列的前n项和.
(1)若，，，求；
(2)若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列的前q项中任意两项均不相同；
(3)证明：为完全平方数.

2 . 已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，
(1)求数列和的通项公式;
(2)，求数列的前项和.
(3)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围;

3 . 定义:如果数列从第三项开始，每一项都介于前两项之间，那么称数列为“跳动数列"．
(1)若数列的前项和满足，且，求的通项公式，并判断是否为“跳动数列”(直接写出判断结果，不必写出过程)；
(2)若公比为的等比数列是“跳动数列”，求的取值范围；
(3)若“跳动数列”满足，证明：或．

4 . 设数列：，，，…，（，），如果中各项按一定顺序进行一个排列，就得到一个有序数组：（，，，…，）.若有序数组：（，，，…，）满足恒成立，则称：（，，，…，）为阶减距数组；若有序数组：（，，，…，）满足恒成立，则称：（，，，…，）为阶非减距数组.
(1)已知数列：，3，2，，请直接写出该数列中的数组成的所有4阶减距数组；
(2)设：（，，，…，）是数列：1，3，5，…，（，）的一个有序数组，若：（，，，…，）为阶非减距数组，且：（，，…，）为阶非减距数组，请直接写出4个满足上述条件的有序数组；
(3)已知等比数列：，，，…，（）的公比为，证明：当时，：（，，，…，）为阶非减距数组.

5 . 北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球……依此类推，最底层有 个小球，共有层，由“隙积术”可得 这 些 小 球 的 总 个 数 为 若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层，小球总个数为240，则该垛积的第一层的小球个数为（       ）

A．1

B．2

C．3

D．4

6 . 已知数列，从中选取第项、第项、…、第项构成数列，称为的项子列．记数列的所有项的和为．当时，若满足：对任意，，则称具有性质．规定：的任意一项都是的项子列，且具有性质．
(1)当时，比较的具有性质的子列个数与不具有性质的子列个数的大小，并说明理由；
(2)已知数列．
（ⅰ）给定正整数，对的项子列，求所有的算术平均值；
（ⅱ）若有个不同的具有性质的子列，满足：，与都有公共项，且公共项构成的具有性质的子列，求的最大值．

7 . 对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的．
(1)证明：如果是等差数列，则是“优分解”的．
(2)记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列．
(3)设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式．

8 . 在学习完“错位相减法”后，善于观察的同学发现对于“等差等比数列”此类数列求和，也可以使用“裂项相消法”求解．例如，故数列的前n项和．记数列的前n项和为，利用上述方法求（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 已知数列是公差为的等差数列，若它的前项的和，则下列结论正确的是（       ）

A．若，使的最大的值为

B．是的最小值

C．

D．

10 . 用“夹逼法”可以估算，比如可以用如下操作估算：由于，所以，即在2和3之间；进一步，由于，且，所以在2.2和2.3之间；如法炮制，可以估算在2.23和2.24之间……．如此下去，可以估算不同精确度下的近似值，同时也可以确定与最接近的整数值．如果用表示最接近的正整数，则______．