1 . 设有穷数列的项数为，若正整数满足：，则称为数列的“点”．
(1)若，求数列的“点”；
(2)已知有穷等比数列的公比为，前项和为．若数列存在“点”，求正数的取值范围；
(3)若，数列的“点”的个数为，证明：．

2 . 设关于x的方程的从小到大的第i个非负解为，若数列是无穷等差数列，且在区间中的项恰好比在区间中的项少2项，则ω的取值集合为______．

3 . 已知数列的前项和为，若存在常数，使得对任意都成立，则称数列具有性质．
(1)若数列为等差数列，且，求证：数列具有性质；
(2)设数列的各项均为正数，且具有性质．
①若数列是公比为的等比数列，且，求的值；
②求的最小值．

4 . 对于数列，如果存在等差数列和等比数列，使得，则称数列是“优分解”的．
(1)证明：如果是等差数列，则是“优分解”的．
(2)记，证明：如果数列是“优分解”的，则或数列是等比数列．
(3)设数列的前项和为，如果和都是“优分解”的，并且，求的通项公式．

5 . 已知数列和满足：.
(1)设求的值；
(2)设求数列的通项公式；
(3)设证明：______.
请从下面①，②两个选项中，任选一个补充到上面问题中，并给出证明.
①；②其中.
注：若两个问题均作答，则按第一个计分.

6 . 已知数列是公差为的等差数列，若它的前项的和，则下列结论正确的是（       ）

A．若，使的最大的值为

B．是的最小值

C．

D．

7 . 在初等数论中，对于大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其它自然数整除的数叫做素数，对非零整数a和整数b，若存在整数k使得，则称a整除b.已知p，q为不同的两个素数，数列是公差为p的等差整数数列，为q除所得的余数，为数列的前n项和.
(1)若，，，求；
(2)若某素数整除两个整数的乘积，则该素数至少能整除其中一个整数，证明：数列的前q项中任意两项均不相同；
(3)证明：为完全平方数.

8 . 已知数列是正项等比数列，是等差数列，且，
(1)求数列和的通项公式;
(2)，求数列的前项和.
(3)表示不超过的最大整数，表示数列的前项和，集合共有4个元素，求范围;

9 . 定义:如果数列从第三项开始，每一项都介于前两项之间，那么称数列为“跳动数列"．
(1)若数列的前项和满足，且，求的通项公式，并判断是否为“跳动数列”(直接写出判断结果，不必写出过程)；
(2)若公比为的等比数列是“跳动数列”，求的取值范围；
(3)若“跳动数列”满足，证明：或．

10 . 设数列：，，，…，（，），如果中各项按一定顺序进行一个排列，就得到一个有序数组：（，，，…，）.若有序数组：（，，，…，）满足恒成立，则称：（，，，…，）为阶减距数组；若有序数组：（，，，…，）满足恒成立，则称：（，，，…，）为阶非减距数组.
(1)已知数列：，3，2，，请直接写出该数列中的数组成的所有4阶减距数组；
(2)设：（，，，…，）是数列：1，3，5，…，（，）的一个有序数组，若：（，，，…，）为阶非减距数组，且：（，，…，）为阶非减距数组，请直接写出4个满足上述条件的有序数组；
(3)已知等比数列：，，，…，（）的公比为，证明：当时，：（，，，…，）为阶非减距数组.