1 . 有限个元素组成的集合为，，集合中的元素个数记为，定义，集合的个数记为，当，称集合具有性质.
（1）设集合具有性质，判断集合中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；
（2） 设正数列的前项和为，满足，其中，数列中的前项：组成的集合记作，将集合中的所有元素从小到大排序，即满足，求；
（3） 已知集合，其中数列是等比数列，，且公比是有理数，判断集合是否具有性质，说明理由.

2 . 已知数列满足:，，其中表示不超过实数的最大整数，设为实数，且对任意的正整数，都有(其中符号为连加号，如)，则的最小值是__________ ；

3 . 已知定义在上的函数和数列满足下列条件:，当且时，且，其中均为非零常数.
（1）数列是等差数列，求的值；
（2）令，若，求数列的通项公式；
（3）证明:数列是等比数列的充要条件是.

4 . （1）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，R表示的外接圆半径.
①如图，在以O圆心、半径为2的圆O中，和是圆O的弦，其中，，求弦的长；
②在中，若是钝角，求证：；

（2）给定三个正实数a、b、R，其中，问：a、b、R满足怎样的关系时，以a、b为边长，R为外接圆半径的不存在、存在一个或存在两个（全等的三角形算作同一个）？在存在的情况下，用a、b、R表示c.

5 . 对于数列，若对任意的，也是数列中的项，则称数列为“数列”，已知数列满足：对任意的，均有，其中表示数列的前项和.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若数列为“数列”，，且，求的所有可能值；
（3）若对任意的，也是数列中的项，求证：数列为“数列”.

6 . 已知数列是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列.
（1）若数列的前项和为，且，，求整数的值；
（2）若，，，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；
（3）若，，（其中，且是的约数），求证：数列中每一项都是数列中的项.

7 . 已知和个实数若有穷数列由数列的项重新排列而成,且下列条件同时成立：① 个数两两不同；②当时，都成立，则称为的一个“友数列”.
(1)若写出的全部“友数列”；
(2)已知是通项公式为的数列的一个“友数列”，且求(用表示)；
(3)设求所有使得通项公式为的数列不能成为任何数列的“友数列”的正实数的个数(用表示).

8 . 无穷数列满足：为正整数，且对任意正整数，为前项、、、中等于的项的个数.
（1）若，求和的值；
（2）已知命题 存在正整数，使得，判断命题的真假并说明理由；
（3）若对任意正整数，都有恒成立，求的值.

9 . 对于无穷数列，，若－…，则称是的“收缩数列”.其中，，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的.

10 . 给定数列，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）已知数列的通项公式为，试判断是否为封闭数列，并说明理由；
（2）已知数列满足且，设是该数列的前项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意都有，且，若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由；
（3）证明等差数列成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数，使．