1 . 对于一个有穷正整数数列，设其各项为，，...，，各项和为，集合中元素的个数为，对所有满足的数列，则的最大值为_________.

2 . 已知数列满足，.给出下列四个结论：
①数列每一项都满足；
②数列的前n项和；
③数列每一项都满足成立；
④数列每一项都满足.
其中，所有正确结论的序号是（       ）

A．①③

B．②④

C．①③④

D．①②④

3 . 对任意，函数满足，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则___________.

4 . 数列满足，，则下列说法错误的是（       ）

A．若且，数列单调递减

B．若存在无数个自然数，使得，则

C．当或时，的最小值不存在

D．当时，

5 . 若数列满足:对任意的，只有有限个正整数k使得成立，记这样的k的个数为，则得到一个新数列，例如，若数列，则数列是0、1、2、…、、…，若，则_________

6 . 已知无穷数列满足：，（，）．对任意正整数，记，．
（1）写出，；
（2）当时，求证：数列是递增数列，且存在正整数，使得；
（3）求集合．

7 . 有限个元素组成的集合为，，集合中的元素个数记为，定义，集合的个数记为，当，称集合具有性质.
（1）设集合具有性质，判断集合中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；
（2） 设正数列的前项和为，满足，其中，数列中的前项：组成的集合记作，将集合中的所有元素从小到大排序，即满足，求；
（3） 已知集合，其中数列是等比数列，，且公比是有理数，判断集合是否具有性质，说明理由.

8 . 对于数列，若对任意的，也是数列中的项，则称数列为“数列”，已知数列满足：对任意的，均有，其中表示数列的前项和.
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若数列为“数列”，，且，求的所有可能值；
（3）若对任意的，也是数列中的项，求证：数列为“数列”.

9 . 对于无穷数列，，若－…，则称是的“收缩数列”.其中，，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的.

10 . 给定数列，若数列中任意（不同）两项之和仍是该数列中的一项，则称该数列是“封闭数列”.
（1）已知数列的通项公式为，试判断是否为封闭数列，并说明理由；
（2）已知数列满足且，设是该数列的前项和，试问：是否存在这样的“封闭数列”，使得对任意都有，且，若存在，求数列的首项的所有取值；若不存在，说明理由；
（3）证明等差数列成为“封闭数列”的充要条件是：存在整数，使．