1 . 已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，即；前项的最小值记为，即，令（），并将数列称为的“生成数列”．
(1)若，求其生成数列的前项和；
(2)设数列的“生成数列”为，求证：；
(3)若是等差数列，证明：存在正整数，当时，，，，是等差数列．

2 . 定义：对于任意大于零的自然数n，满足条件且（M是与n无关的常数）的无穷数列称为M数列．
(1)若等差数列的前n项和为，且，，判断数列是否是M数列，并说明理由；
(2)若各项为正数的等比数列的前n项和为，且，证明：数列是M数列；
(3)设数列是各项均为正整数的M数列，求证：．

3 . 已知数列满足，
(1)判断数列是否是等比数列？若是，给出证明；否则，请说明理由；
(2)若数列的前10项和为361，记，数列的前n项和为，求证：.

4 . 已知函数 (是自然对数的底数，).
（I）证明：对，不等式恒成立；
（II）数列的前项和为，求证：．

6 . 已知数列满足，，数列满足，．
(1)求证：为等差数列，并求通项公式；
(2)若，记前n项和为，对任意的正自然数n，不等式恒成立，求实数的范围．

7 . 在等差数列中，，且等差数列的公差为4.
(1)求；
(2)若，数列的前项和为，证明：.

8 . 已知数列满足.
(1)求的通项公式；
(2)若，记数列的前项和为，求证：.

9 . 在数列中，.
(1)证明：是等比数列.
(2)求的通项公式.
(3)求数列的前项和.

10 . 已知数列的首项，且满足，数列的前项和满足，且.
(1)求证：是等比数列；
(2)求数列的通项公式；
(3)设，求数列的前项和.