2010·山东烟台·一模
解题方法
1 . 已知数列
满足：
，
(1)求
得值；
(2)设
求证：数列
是等比数列，并求出其通项公式；
(3)对任意的
，在数列中是否存在连续的
项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列；若不存在，说明理由.
满足：， (1)求
得值；(2)设
求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；(3)对任意的
，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列；若不存在，说明理由.
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解题方法
2 . 已知数列
是斐波那契数列，其数值为：
.这一数列以如下递推的方法定义：
.数列
对于确定的正整数
，若存在正整数
使得
成立，则称数列为“阶可分拆数列”.
(1)已知数列
满足
.判断是否对
，总存在确定的正整数，使得数列为“阶可分拆数列”，并说明理由.
(2)设数列
的前项和为
，
（i）若数列为“
阶可分拆数列”，求出符合条件的实数
的值；
（ii）在（i）问的前提下，若数列
满足
，
，其前项和为
.证明：当且
时，
成立.
是斐波那契数列，其数值为：.这一数列以如下递推的方法定义：.数列对于确定的正整数，若存在正整数使得成立，则称数列为“阶可分拆数列”.(1)已知数列
满足.判断是否对，总存在确定的正整数，使得数列为“阶可分拆数列”，并说明理由.(2)设数列
的前项和为，（i）若数列
为“阶可分拆数列”，求出符合条件的实数的值；（ii）在（i）问的前提下，若数列
满足，，其前项和为.证明：当且时，成立.
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名校
3 . 记
为数列的前项和，
．
(1)求
和的通项公式；
(2)设数列
的前项和为，证明：
．
为数列的前项和，．(1)求
和的通项公式；(2)设数列
的前项和为，证明：．
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2024-04-18更新
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1402次组卷
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3卷引用：山东省部分学校2023-2024学年高三下学期4月金科大联考（二模）数学试题
山东省部分学校2023-2024学年高三下学期4月金科大联考（二模）数学试题河北省衡水市枣强县董子学校、秦皇岛市河北昌黎第一中学联考2024届高三下学期4月质量检测数学试题（已下线）压轴题05数列压轴题15题型汇总-1
4 . 记集合
无穷数列中存在有限项不为零，
，对任意
，设变换
，
．定义运算
：若
，则
，
．
(1)若
，用
表示
；
(2)证明：
；
(3)若
，
，
，证明：
．
无穷数列中存在有限项不为零，，对任意，设变换，．定义运算：若，则，．(1)若
，用表示；(2)证明：
；(3)若
，，，证明：．
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2024-03-15更新
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1267次组卷
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2卷引用：山东省青岛市2024届高三下学期第一次适应性检测数学试题
名校
解题方法
5 . 若存在常数
，使得对于任意
，都有
，则称数列为
数列.
（1）已知数列是公差为
的等差数列，其前项和为，若为
数列，求
的取值范围；
（2）已知数列的各项均为正数，记的前项和为
，数列
的前项和为，且
，，若数列
满足
，且为数列，求
的最大值；
（3）已知正项数列
满足：
，且数列
为
数列，数列
为
数列，若
，求证：数列中必存在无穷多项可以组成等比数列.
，使得对于任意，都有，则称数列为数列.（1）已知数列
是公差为的等差数列，其前项和为，若为数列，求的取值范围；（2）已知数列
的各项均为正数，记的前项和为，数列的前项和为，且，，若数列满足，且为数列，求的最大值；（3）已知正项数列
满足：，且数列为数列，数列为数列，若，求证：数列中必存在无穷多项可以组成等比数列.
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2020-12-02更新
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607次组卷
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4卷引用：山东省淄博市2021届高三三模数学试题
山东省淄博市2021届高三三模数学试题上海市上海中学2021届高三上学期期中数学试题（已下线）考向18 数列不等式-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）（已下线）专题05 《数列》中的解答题压轴题（2）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册）
6 . 已知数列中，，点 
，
在直线
上.
（1）求数列的通项公式；
（2）设
，Sn为数列的前 n项和，试问：是否存在关于n的整式
，使得
恒成立，若存在，写出 的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由.
中，，点 ，在直线上.（1）求数列
的通项公式；（2）设
，Sn为数列的前 n项和，试问：是否存在关于n的整式，使得恒成立，若存在，写出 的表达式，并加以证明，若不存在，说明理由.
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2021-01-22更新
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1204次组卷
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3卷引用：山东省淄博市2023届高三三模数学试题
7 . 设
是数列1，
，
，…，
的各项和，
，
.
（1）设
，证明：
在
内有且只有一个零点；
（2）当
时，设存在一个与上述数列的首项、项数、末项都相同的等差数列，其各项和为
，比较与
的大小，并说明理由；
（3）给出由公式
推导出公式
的一种方法如下：在公式中两边求导得：
，所以成立，请类比该方法，利用上述数列的末项的二项展开式证明：时
（其中
表示组合数）
是数列1，，，…，的各项和，，.（1）设
，证明：在内有且只有一个零点； （2）当
时，设存在一个与上述数列的首项、项数、末项都相同的等差数列，其各项和为，比较与的大小，并说明理由；（3）给出由公式
推导出公式的一种方法如下：在公式中两边求导得：，所以成立，请类比该方法，利用上述数列的末项的二项展开式证明：时（其中表示组合数）
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2020-06-23更新
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1007次组卷
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3卷引用：山东省潍坊市2020届高三6月高考模拟考试数学试题
8 . 设
是等比数列，公比大于0，其前n项和为
，
是等差数列.已知
，
，
，
.
（I）求和的通项公式；
（II）设数列
的前n项和为
，
（i）求
；
（ii）证明
.
是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，.（I）求
和的通项公式；（II）设数列
的前n项和为，（i）求
；（ii）证明
.
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2018-06-09更新
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9776次组卷
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39卷引用：【校级联考】山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题
【校级联考】山东省淄博实验中学、淄博五中2019届高三上学期第一次教学诊断理科数学试题（已下线）山东省潍坊市寿光市第一中学2019-2020学年高二上学期11月月考数学试题天津市钢管公司中学2022-2023学年高三下学期第一次统练数学试题2018年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（天津卷）（已下线）2017-2018学年度下学期高中期末备考 【浙江版】高一【精准复习模拟题】 提高卷02【教师版】（已下线）2018年高考题及模拟题汇编 【理科】4．数列与不等式（已下线）第04讲 数列求和（讲）-《2020年高考一轮复习讲练测》（浙江版）专题6.4 数列求和（练）【文】—《2020年高考一轮复习讲练测》专题6.4 数列求和（讲）【文】—《2020年高考一轮复习讲练测》四川省绵阳市涪城区南山中学2019-2020学年高三上学期11月月考数学（理）试题（已下线）专题6.4 等差、等比数列与数列求和（练）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题6.4 等差、等比数列与数列求和（讲）【理】-《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题6.4 数列求和（练）-江苏版《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题6.4 数列求和（讲）-江苏版《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）专题12 数列——三年（2018-2020）高考真题理科数学分项汇编（已下线）专题14 数列综合-五年（2016-2020）高考数学（理）真题分项（已下线）专题7.4 数列求和（讲）-2021年新高考数学一轮复习讲练测（已下线）专题7.4 数列求和（精讲）-2021年新高考数学一轮复习学与练（已下线）专题6.4 数列求和（精讲）-2021年高考数学（文）一轮复习学与练（已下线）专题6.4 数列求和（精讲）-2021年高考数学（理）一轮复习学与练（已下线）专题6.4 数列求和（精讲）-2021届高考数学（理）一轮复习讲练测天津市河西区2020-2021学年高三上学期期中数学试题（已下线）专题08 数列的通项、求和及综合应用 第一篇 热点、难点突破篇（练）-2021年高考数学二轮复习讲练测（浙江专用））（已下线）专题4.2 数列-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）湖南省衡阳市田家炳实验中学2020-2021学年高三上学期12月月考数学试题（已下线）专题7.4 数列求和（讲）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（已下线）第29讲 数列求和（讲）- 2022年高考数学一轮复习讲练测（课标全国版）（已下线）考点25 数列求和-备战2022年高考数学（理）一轮复习考点帮（已下线）专题09 数列-五年（2017-2021）高考数学真题分项（新高考地区专用）陕西省铜川市耀州中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）专题08 数列-五年（2017-2021）高考数学真题分项汇编（文科+理科）苏教版(2019) 选修第一册 一蹴而就 第4章 单元整合（已下线）考点25 数列求和及其运用-备战2022年高考数学典型试题解读与变式（已下线）专题14 盘点数列的前n项和问题——备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破（已下线）专题6.4 数列求和（练）-江苏版《2020年高考一轮复习讲练测》（已下线）重组卷02（已下线）专题11 数列前n项和的求法 微点4 裂项相消法求和（二）（已下线）专题21 数列解答题（理科）-3专题11数列
9 . 已知数列
的前n项和
，其中
．
（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若
，求
．
的前n项和，其中．（Ⅰ）证明
是等比数列，并求其通项公式；（Ⅱ）若
，求．
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2016-12-04更新
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9804次组卷
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43卷引用：2020届山东省青岛天龙中学高三第一次模拟考试数学试题
2020届山东省青岛天龙中学高三第一次模拟考试数学试题江苏省无锡市2022届高三下学期3月模拟数学试题2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标3卷精编版）（已下线）2.5 等比数列的前n项和—《课时同步君》广东省阳春市第一中学2018届高三上学期第三次月考数学（理）试题高中数学人教版 必修5 第二章 数列 2.5 等比数列前n项和苏教版高中数学 高三二轮 专题19 数列 测试人教版高中数学 高三二轮 专题13 等差数列 等比数列问题（已下线）《考前20天终极攻略》5月23日 数列【理科】（已下线）《高频考点解密》—解密11 等差数列、等比数列（已下线）实战演练5.2-2018年高考艺考步步高系列数学（已下线）2018年9月21日 《每日一题》一轮复习【理】-等比数列（2）（已下线）2018年9月25日《每日一题》一轮复习（文）-等比数列（2）（已下线）2019年9月20日 《每日一题》2020年高考理数一轮复习-等比数列（2）（已下线）2019年9月24日 《每日一题》2020年高考文数一轮复习-等比数列（2）新疆维吾尔自治区石河子第二中学2019-2020学年高二上学期第一次阶段考试数学试题内蒙古自治区乌兰察布市集宁一中2019年高三上学期期中数学（理）试题（已下线）题型05 等比数列通项公式、前n项和公式及其变形公式-2020届秒杀高考数学题型之数列专题05+数列-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化（已下线）专题6.3 等比数列及其前n项和-2021年高考数学（理）一轮复习-题型全归纳与高效训练突破（已下线）专题14 数列综合-五年（2016-2020）高考数学（文）真题分项（已下线）专题17 数列的概念与数列的通项公式-十年（2011-2020）高考真题数学分项（已下线）专题2.3+等比数列（重点练）-2020-2021学年高二数学十分钟同步课堂专练（苏教版必修5）河南省洛阳市第一高级中学2020-2021学年高三9月月考数学（理）试题河南省洛阳市第一高级中学2020-2021学年高三9月月考数学（文）试题山西省运城市景胜中学2021届高三上学期10月月考数学（文）试题山西省运城市景胜中学2021届高三上学期10月月考数学（理）试题（已下线）专题6.3 等比数列及其前n项和（精练）-2021年高考数学（理）一轮复习学与练河北省张家口市宣化第一中学2021届高三上学期阶段测试(二)数学试题（已下线）解密04 数列求和及综合问题（讲义）-【高频考点解密】2021年新高考数学二轮复习讲义+分层训练（已下线）专题07 数列及其应用-十年（2012-2021）高考数学真题分项汇编（全国通用）（已下线）专题六 等比数列的前 n项和-2020-2021学年高中数学专题题型精讲精练（2019人教B版选择性必修第三册）（已下线）专题23 数列通项公式的求解策略-学会解题之高三数学万能解题模板【2022版】（已下线）类型二 等比数列-【题型突破】备战2022年高考数学二轮基础题型+重难题型突破（新高考专用）广东省佛山市南海区第一中学、佛山二中2021-2022学年高二下学期4月联考数学试题广东省江门市鹤华中学2021-2022学年高二下学期期中数学试题（已下线）专题06 数列解答题（已下线）2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（全国3卷参考版）（已下线）专题6 等比数列的判断（证明）方法 微点1 定义法、等比中项法福建省泉州市泉州鲤城北大培文学校2022届高三上学期期末数学试题（已下线）5.1 数列的概念及其表示（高考真题素材之十年高考）（已下线）专题21 数列解答题（理科）-1专题28数列解答题
