1 . 利用基本不等式证明：已知都是正数，求证：

2 . 若无穷数列满足：，且对任意，(s，k，l，)都有，则称数列为“T”数列.
（1）证明：正项无穷等差数列是“T”数列；
（2）记正项等比数列的前n项之和为，若数列是“T”数列，求数列公比的取值范围；
（3）若数列是“T”数列，且数列的前n项之和满足，求证：数列是等差数列.

3 . 已知是正项数列的前项和，，.
（1）证明：数列是等差数列；
（2）设，数列的前项和，
①求证：；
②解关于的不等式：.

4 . 已知数列的首项，，、、．
（1）求证：数列为等比数列；
（2）记，若，求最大正整数；
（3）是否存在互不相等的正整数、、，使、、成等差数列且、、成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．

5 . 若无穷数列满足：，且对任意的，（，，，）都有，则称数列为“G”数列.
（1）已知等比数列的通项为，证明：是“G”数列；
（2）记数列的前n项和为且有，若对每一个取，中的较小者组成新的数列，若数列为“G”数列，求实数的取值范围？
（3）若数列是“G”数列，且数列的前n项之积满足，求证：数列是等比数列.

6 . 已知正数，，成等差数列，且公差，求证：，，不可能是等差数列．
设实数，整数，．证明：当且时，．

7 . 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
(1)证明：；
(2)求证：≥．

8 . 已知数列满足：（为常数），数列中，．
⑴求；
⑵证明：数列为等差数列；
⑶求证：数列中存在三项构成等比数列时，为有理数．

9 . 已知数列满足： .
（1）若，求的值；
（2）设，求证：数列从第2项起成等比数列；
（3）若数列成等差数列，且，试判断数列是否成等差数列？并证明你的结论.

10 . 设数列的各项均为不等的正整数，其前项和为，我们称满足条件“对任意的，均有”的数列为“好”数列．
（1）试分别判断数列，是否为“好”数列，其中，，，并给出证明；
（2）已知数列为“好”数列．
① 若，求数列的通项公式；
② 若，且对任意给定正整数（），有成等比数列，求证：．