1 . 设
，记
，令有穷数列
为
零点的个数
，则有以下两个结论：①存在
，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（ ）
，记，令有穷数列为零点的个数，则有以下两个结论：①存在，使得为常数列；②存在，使得为公差不为零的等差数列.那么（ ）| A．①正确，②错误 | B．①错误，②正确 |
| C．①②都正确 | D．①②都错误 |
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名校
解题方法
2 . 已知函数
，
，令
(1)当
时，求函数
在
处的切线方程；
(2)当a为正数且
时，
，求a的最小值；
(3)若
对一切
都成立，求a的取值范围.
，，令(1)当
时，求函数在处的切线方程；(2)当a为正数且
时，，求a的最小值；(3)若
对一切都成立，求a的取值范围.
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2024-03-07更新
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1672次组卷
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13卷引用：上海市浦东新区上海中学东校2024届高三上学期期中数学试题
上海市浦东新区上海中学东校2024届高三上学期期中数学试题上海市风华中学2024届高三上学期期中数学试题上海市浦东新区上海师大附中2024届高三下学期3月模拟考试数学试题上海市实验学校2022-2023学年高三下学期3月月考数学试题（已下线）模块八 专题11 以函数与导数为背景的压轴解答题上海市同济大学第一附属中学2023届高三三模数学试题上海市青浦区2022-2023学年高二下学期期末数学试题（已下线）重难点04导数的应用六种解法（1）上海市同济大学第一附属中学2023届高三下学期5月月考（质控2）数学试题上海市上海师范大学附属中学2023-2024学年高三下学期3月月考数学试卷上海市育才中学2024届高三下学期第一次调研（3月）数学试题上海市嘉定区育才中学2024届高三下学期（3月份）一调数学试卷江苏省无锡市江阴长泾中学2023-2024学年高二下学期3月阶段性检测数学试卷
3 . 设抛物线
：
的焦点为F，经过x轴正半轴上点
的直线l交于不同的两点A和B．
(1)若
，求A点的坐标；
(2)若
，求
的值；
(3)若
，且直线
，
与有且只有一个公共点E，问：
的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M点的坐标；若不存在，请说明理由（三角形面积公式：在
中，设
，
，则的面积为
）．
：的焦点为F，经过x轴正半轴上点的直线l交于不同的两点A和B．(1)若
，求A点的坐标；(2)若
，求的值；(3)若
，且直线，与有且只有一个公共点E，问：的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值，并求出M点的坐标；若不存在，请说明理由（三角形面积公式：在中，设，，则的面积为）．
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解题方法
4 . 某苗圃有两个入口A、B，
，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有150株树苗放在P处，已知
，
，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系．计划将树苗种在以
，
，
，
为顶点的矩形内呈15列10行等距排列．
(1)种在点
处的树苗应通过哪个入口运输路程较短？
(2)能否在苗圃内确定一条界线，使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近，而另一侧的树苗沿PB运输较近？若能，求出这条界线；若不能，说明理由．
(3)有多少株树苗沿PB运输较近？
，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物，现有150株树苗放在P处，已知，，以AB所在直线为x轴，AB中点为原点建立直角坐标系．计划将树苗种在以，，，为顶点的矩形内呈15列10行等距排列． (1)种在点
处的树苗应通过哪个入口运输路程较短？(2)能否在苗圃内确定一条界线，使位于界线一侧的树苗沿PA运输较近，而另一侧的树苗沿PB运输较近？若能，求出这条界线；若不能，说明理由．
(3)有多少株树苗沿PB运输较近？
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5 . 在平面直角坐标系
中，一动圆经过点
且与直线
相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线
，直线与交于A，B两点，直线
与交于D，E两点，
的最小值；
(3)
为曲线上一点，且的横坐标大于4．过作圆
的两条切线，分别交
轴于点
、
，求三角形
面积的取值范围.
中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线．(1)求曲线
的方程；(2)过点
作两条互相垂直的直线，直线与交于A，B两点，直线与交于D，E两点，的最小值；(3)
为曲线上一点，且的横坐标大于4．过作圆的两条切线，分别交轴于点、，求三角形面积的取值范围.
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6 . 已知抛物线：，
为的焦点，A，
，为上互异的三点.
(1)若
，求的坐标:
(2)若直线
过点且斜率为
，的纵坐标为6，求三角形
的外接圆半径:
(3)若三角形为等腰直角三角形，求三角形面积的最小值.
：，为的焦点，A，，为上互异的三点.(1)若
，求的坐标:(2)若直线
过点且斜率为，的纵坐标为6，求三角形的外接圆半径:(3)若三角形
为等腰直角三角形，求三角形面积的最小值.
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名校
7 . 如果
同时满足以下三个条件：
①
；②对任意
，
成立；③当
，
，
时，总有
成立，则称
为“理想函数”.有下列两个命题：
命题
：若为“理想函数”，则存在
且
，使
成立；
命题
：若为“理想函数”，则对任意，都有
成立.
则下列说法正确的是（ ）
同时满足以下三个条件：①
；②对任意，成立；③当，，时，总有成立，则称为“理想函数”.有下列两个命题：命题
：若为“理想函数”，则存在且，使成立；命题
：若为“理想函数”，则对任意，都有成立.则下列说法正确的是（ ）
| A．命题为假命题，命题为真命题 | B．命题为真命题，命题为假命题 |
| C．命题、命题都是真命题 | D．命题、命题都是假命题 |
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8 . 设函数的定义域为开区间
，若存在
，使得在
处的切线
与的图象只有唯一的公共点，则称切线是的一条“
切线”.
(1)判断
是否是函数
的一条“切线”?并说明理由.
(2)设
，若对任意正实数
，函数都存在“切线”，求实数
的取值范围；
(3)已知实数
，函数
，求证：函数存在无穷多条“切线”，且至少一条“切线”的切点的横坐标不超过
.
的定义域为开区间，若存在，使得在处的切线与的图象只有唯一的公共点，则称切线是的一条“切线”.(1)判断
是否是函数的一条“切线”?并说明理由.(2)设
，若对任意正实数，函数都存在“切线”，求实数的取值范围；(3)已知实数
，函数，求证：函数存在无穷多条“切线”，且至少一条“切线”的切点的横坐标不超过.
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9 . 已知椭圆
：
的离心率为
，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两个动点，
面积的最大值为2.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线
，
的斜率分别为
，
，若
，问：直线
是否过定点?如果是，求出该定点；不是，请说明理由.
(3)在第（2）题的条件下，若
和
的面积分别为
，
.求
的最大值.
：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，点P、Q为椭圆上异于A、B的两个动点，面积的最大值为2.(1)求椭圆
的方程；(2)设直线
，的斜率分别为，，若，问：直线是否过定点?如果是，求出该定点；不是，请说明理由.(3)在第（2）题的条件下，若
和的面积分别为，.求的最大值.
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10 . 已知椭圆
的左、右焦点分别为
为椭圆的一个顶点，且右焦点
到双曲线
渐近线的距离为
．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设直线
与椭圆交于
两点．
①若直线过椭圆右焦点，且
的面积为
，求实数
的值；
②若直线过定点
，且
，在
轴上是否存在点
使得以
为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数
的取值范围；若不存在，请说明理由．
的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到双曲线渐近线的距离为．(1)求椭圆
的标准方程；(2)设直线
与椭圆交于两点．①若直线
过椭圆右焦点，且的面积为，求实数的值；②若直线
过定点，且，在轴上是否存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形？若存在，则求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由．
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