解题方法
1 . “对称性”是一个广义的概念,包含“几何对称性”、“置换对称性”等范畴,是数学之美的重要体现.假定以下各点均在第一象限,各函数的定义域均为.设点,,,规定,且对于运算“”,表示坐标为的点.若点U,V,W满足,则称V与U相似,记作V~U.若存在单调函数和,使得对于图像上任意一点T,均在图像上,则称为的镜像函数.
(1)若点,,且N~M,求的坐标;
(2)证明:若为的镜像函数,,则;
(3)已知函数,为的镜像函数.设R~S,且.证明:.
(1)若点,,且N~M,求的坐标;
(2)证明:若为的镜像函数,,则;
(3)已知函数,为的镜像函数.设R~S,且.证明:.
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2 . 已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
(1)讨论的单调性;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
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3 . 对于函数的导函数,若在其定义域内存在实数和,使得成立,则称是“跃然”函数,并称是函数的“跃然值”.
(1)证明:当时,函数是“跃然”函数;
(2)证明:为“跃然”函数,并求出该函数“跃然值”的取值范围.
(1)证明:当时,函数是“跃然”函数;
(2)证明:为“跃然”函数,并求出该函数“跃然值”的取值范围.
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解题方法
4 . 已知函数.
(1)当时,证明:是增函数.
(2)若恒成立,求的取值范围.
(3)证明:(,).
(1)当时,证明:是增函数.
(2)若恒成立,求的取值范围.
(3)证明:(,).
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名校
解题方法
5 . 已知抛物线的准线方程为,过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A,B两点,则下列说法正确的是( )
A.以AF为直径的圆与y轴相切 |
B.设,则周长的最小值为4 |
C.若,则直线l的斜率为或 |
D.x轴上存在一点N,使为定值 |
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6 . 已知函数,其中.
(1)当时,,求的取值范围.
(2)若,证明:有三个零点,,(),且,,成等比数列.
(3)证明:().
(1)当时,,求的取值范围.
(2)若,证明:有三个零点,,(),且,,成等比数列.
(3)证明:().
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7 . 已知函数.
(1)当时,求证:存在唯一的极大值点,且;
(2)若存在两个零点,记较小的零点为,t是关于x的方程的根,证明:.
(1)当时,求证:存在唯一的极大值点,且;
(2)若存在两个零点,记较小的零点为,t是关于x的方程的根,证明:.
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解题方法
8 . 定义:函数满足对于任意不同的,都有,则称为上的“类函数”.
(1)若,判断是否为上的“2类函数”;
(2)若为上的“3类函数”,求实数a的取值范围;
(3)若为上的“2类函数”,且,证明:,,.
(1)若,判断是否为上的“2类函数”;
(2)若为上的“3类函数”,求实数a的取值范围;
(3)若为上的“2类函数”,且,证明:,,.
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名校
解题方法
9 . 若函数与在区间上恒有,则称函数为和在区间上的隔离函数.
(1)若,判断是否为和在区间上的隔离函数,并说明理由;
(2)若,且在上恒成立,求的值;
(3)若,证明:是为和在上的隔离函数的必要条件.
(1)若,判断是否为和在区间上的隔离函数,并说明理由;
(2)若,且在上恒成立,求的值;
(3)若,证明:是为和在上的隔离函数的必要条件.
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解题方法
10 . 帕德近似是法国数学家亨利•帕德发明的用有理多项式近似特定函数的方法.给定两个正整数,函数在处的阶帕德近似定义为:,且满足:,,,…,. 已知在处的阶帕德近似为.注:,,,,…
(1)求实数的值;
(2)当时,试比较与的大小,并证明;
(3)定义数列:,,求证:.
(1)求实数的值;
(2)当时,试比较与的大小,并证明;
(3)定义数列:,,求证:.
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