1 . 已知函数的导函数为.
(1)证明：函数有且只有一个极值点；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.

2 . 已知函数.
(1)求的单调区间；
(2)若，函数.
（i）证明：在区间上存在极值点；
（ii）记在区间上的极值点为在区间上的零点的和为.证明：.

3 . 已知函数.
(1)求曲线在点处的切线方程，
(2)证明：.

4 . 已知椭圆的离心率是 ，其左､右焦点分别为，过点且与直线垂直的直线交轴负半轴于.
(1)求证：；
(2)若点，过椭圆右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆交于两点，点是点关于轴的对称点，在轴上是否存在一个定点，使得三点共线？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

5 . 设a，b，，求证：关于x的方程有一个根是1的充要条件为.

6 . 已知函数，，其中，曲线在点处的切线与曲线相切于点．
(1)若，求；
(2)证明：．

7 . 已知函数，其中e为自然对数的底数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)证明：在上有两个零点.

8 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若的两个极值点分别为，，证明：．

9 . 已知函数．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，证明：不等式在上恒成立．

10 . 已知函数，其中为自然对数的底数．
(1)求在上的值域；
(2)函数，证明：有且仅有两个零点．