1 . 已知函数．
(1)当时，求证：恒成立；
(2)令，当时，求函数在上的零点个数．

2 . 已知椭圆：的右顶点与抛物线：的焦点重合，椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点F且垂直于x轴的直线截抛物线所得的弦长为.
(1)求椭圆和抛物线的方程；
(2)过点的直线l与椭圆交于不同的两点，点关于x轴的对称点为，证明：当直线绕点旋转时，直线经过定点.

3 . 已知抛物线的焦点为F，准线与y轴的交点为M，动点A（异于原点O）在抛物线C上，当与y轴垂直时，.
(1)求抛物线C的方程；
(2)若直线与抛物线C交于另一点B，证明：直线的斜率与直线的斜率互为相反数.

4 . 已知函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)若函数有两个不同的零点，证明：.

6 . 已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)当时，证明

7 . 已知函数．
(1)若，求a的取值范围；
(2)证明：若有两个零点，则．

8 . 已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）当时，证明：对恒成立.

9 . 已知点M到点F（1，0）和直线x＝﹣1的距离相等，记点M的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）过点F作相互垂直的两条直线l₁、l₂，曲线C与交于点P₁、P₂，与l₂交于点Q₁、Q₂，试证明：．

10 . 已知函数．
（1）若函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，其实数m的取值范围；
（2）若函数f（x）在（0，+∞）上存在两个极值点x₁，x₂，证明：lnx₁+lnx₂＞2．