1 . 已知函数，
(1)讨论函数的单调性;
(2)若函数有两个零点，且，曲线在这两个零点处的切线交于点，求证：小于和的等差中项;
(3)证明:

2 . 一个完美均匀且灵活的项链的两端被悬挂， 并只受重力的影响，这个项链形成的曲 线形状被称为悬链线.1691年，莱布尼茨、惠根斯和约翰・伯努利等得到“悬链线”方程 ，其中为参数.当时，就是双曲余弦函数，类似地双曲正弦函数 ，它们与正、余弦函数有许多类似的性质.
(1)类比三角函数的三个性质：
①倍角公式 ；
②平方关系 ；
③求导公式
写出双曲正弦和双曲余弦函数的一个正确的性质并证明；
(2)当时，双曲正弦函数图象总在直线的上方，求实数的取值范围；
(3)若，证明：

4 . 已知双曲线，点，都在双曲线上，且的右焦点为.
(1)求的离心率及其渐近线方程；
(2)设点是双曲线C右支上的任意一点，记直线和的斜率分别为，证明：.

5 . 已知函数（）．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：（，）；
(3)若函数有三个不同的零点，求的取值范围．

7 . 已知函数，的导函数为.
(1)当时，解不等式；
(2)判断的零点个数；
(3)证明：.

8 . 已知函数．
(1)若在R上单调递增，求实数a的取值范围；
(2)当时，证明：，．

9 . 已知函数，的图象在处的切线为．
(1)设，求证：；
(2)若对任意的恒成立，求实数的取值范围．

10 . 已知P为圆上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，M为PQ的中点.M的轨迹曲线E.
(1)求曲线E的轨迹方程；
(2)曲线E交x轴正半轴于点A，交y轴正半轴于点B.直线与曲线E交于C，D两点，若直线直线AB，设直线AC，BD的斜率分别为.证明：为定值．