1 . 已知，．
(1)若函数的图象在处的切线与直线垂直，求的极值；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．

2 . 已知函数，设曲线在点处的切线方程为.
(1)证明：对定义域内任意，都有；
(2)当时，关于的方程有两个不等的实数根，，证明：.

3 . 已知函数和有相同的最大值.
(1)证明：函数在上有且仅有一个零点.
(2)若对任意，存在，使得，求mn的最小值.

4 . 已知函数.
(1)判断极值点的个数；
(2)当时，证明：.

5 . 已知椭圆，的三个顶点都在椭圆C上，且P为椭圆C的左顶点，直线AB经过点.
(1)求面积的最大值.
(2)若三边所在的直线斜率都存在，且分别记为，试判断是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.

6 . 已知函数．
(1)若恒成立，求a的取值范围；
(2)若函数存在两个极值点，且恒成立，求的取值范围．

7 . 已知椭圆，过动点的直线交轴于点，交于点（在第一象限），且是线段的中点，过点作轴的垂线交于另一点，连接并延长，交于点.
(1)设直线的斜率为的斜率为，证明：为定值；
(2)设直线的倾斜角为，求的最小值.

8 . 已知动点到定点的距离比到直线的距离小2，设动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)设是轴上的点，曲线与直线交于，且的面积为，求点的坐标.

9 . 已知函数.
(1)若的导函数为，讨论的单调性；
(2)若恒成立，求实数的取值范围.