1 . 已知.
(1)求并写出的表达式；
(2)证明：.

2 . 己知圆，动圆与圆相内切，且经过定点
(1)求动圆圆心的轨迹方程；
(2)若直线与（1）中轨迹交于不同的两点，记外接圆的圆心为（为坐标原点），平面上是否存在两定点，使得为定值，若存在，求出定点坐标和定值，若不存在，请说明理由．

3 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数有最大值，求实数的值．

4 . 已知函数，为的导数
(1)讨论的单调性；
(2)若是的极大值点，求的取值范围；
(3)若，证明：．

5 . 已知点是圆上的动点，，是线段上一点，且，设点的轨迹为.
(1)求轨迹的方程；
(2)设不过原点的直线与交于两点，且直线的斜率的乘积为，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合）.试问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由.

6 . 已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若恒成立，求实数的取值集合．

8 . 已知函数.
(1)若，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性.

9 . 已知且，函数.
(1)记为数列的前项和.当时，试比较与2024的大小，并说明理由；
(2)当时，证明：；
(3)当且时，试讨论的零点个数.

10 . 已知函数.
(1)求曲线在处的切线方程；
(2)设，求函数的最小值；
(3)若，求实数的值.