1 . 已知函数.
(1)当时，求的极值；
(2)若恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：.

2 . 设函数
(1)讨论的单调性;
(2)若为正数，且存在，使得求的取值范围.

3 . 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)设直线和分别与直线交于点，问：是否存在点使得与的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

4 . 已知函数．
(1)若函数无极值，求实数的取值范围；
(2)若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．

5 . 已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值；
(2)证明：．

6 . 已知双曲线的左右焦点分别为，点在的渐近线上，且满足.
(1)求的方程；
(2)点为的左顶点，过的直线交于两点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：线段的中点为定点.

7 . 已知函数.
(1)若，求的极小值；
(2)若对任意的和，不等式恒成立，求的最大值.

8 . 已知函数.
(1)设，证明：当时，过原点O有且仅有一条直线与曲线相切；
(2)若函数有两个零点，求a的取值范围.

9 . 已知椭圆的离心率为，左右顶点分别为A，B，G为C的上顶点，且的面积为2.
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点的动直线与C交于M，N两点.证明：直线与的交点在一条定直线上.

10 . 已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，过且垂直于x轴的直线交椭圆于点，且.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过的直线l交椭圆C于两点，若内切圆的周长为，求直线l的方程.