1 . 已知，设函数，.
（1）求函数的单调区间；
（2）是否存在整数，对于任意，关于的方程在区间上有唯一实数解？若存在，求的值；若不存在，说明理由.

2 . 设函数．
（1）当时，求函数的最大值；
（2）令，（）其图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；
（3）当，，方程有唯一实数解，求正数的值．

3 . 已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，关于的方程有两个不同的实数解，，求证：.

4 . 已知函数，.
（1）求证：有两个不同的实数解；
（2）若在时恒成立，求整数的最大值.

5 . 已知函数（为自然对数的底数）.
（Ⅰ）证明：当时，方程在区间上只有一个解；
（Ⅱ）设，其中.若恒成立，求的取值范围.

6 . 设函数.
（1）令），若的图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数的取值范围；
（2）若方程有唯一实数解，求正数的值.

7 . 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.请你根据这一发现，求：函数对称中心为___________；

8 . 已知函数.
（1）若函数的图象在点处的切线平行于轴，求函数在上的最小值；
（2）若关于的方程在上有两个解，求实数的取值范围.

9 . 已知函数.
（I）当时，比较，，的大小；
（Ⅱ）当时，若方程在上有且只有一个解，求的值.

10 . 已知函数，，其中是自然对数的底数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若函数在区间上为单调函数，求的取值范围；
（3）当时，试判断方程是否有实数解，并说明理由.