1 . 已知函数，其中．
(1)讨论的单调性；
(2)若，设，
（ⅰ）证明：函数在区间内有唯一的一个零点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的零点为，求证：．

2 . 已知椭圆C：的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)我们称圆心在椭圆C上运动，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线OA，OB的斜率存在，记为，．
①求证：为定值；
②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

3 . 已知，，，其中e是自然对数的底数，．
(1)讨论当a=1时，函数的单调性和极值；
(2)求证：在（1）的条件下；
(3)是否存在正实数a，使的最小值是3?若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

4 . 已知抛物线上的点到其焦点的距离为．
(1)求和的值；
(2)若直线交抛物线于、两点，线段的垂直平分线交抛物线于、两点，求证：、、、四点共圆．

5 . 已知函数的最大值为1.
(1)求常数的值.
(2)若，，求证：.

6 . 已知函数.
(1)若在上单调递增，求实数的取值范围.
(2)若，求证：当时，.

7 . 已知函数 （）存在极值点．
(1)求实数a的取值范围：
(2)若是的极值点，求证：．
参考数据：．

8 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过定点的直线与椭圆相交于、两点，已知点，设直线、的斜率分别为，求证：．

9 . 设抛物线的焦点为，过焦点作直线交抛物线于，两点.
(1)若，求直线的方程；
(2)若点的坐标为，直线，分别与抛物线的准线相交于，两点，求证：.

10 . 已知，分别是椭圆：的左，右焦点，的顶点都在椭圆上，且边，分别经过点，.当点在轴上时，为直角三角形且面积为.
(1)求的方程；
(2)设、两点的横坐标分别为、，求证：为定值.