1 . 已知抛物线：内有一点，过的两条直线，分别与抛物线交于，和，两点，且满足，，已知线段的中点为，直线的斜率为.

（1）求证：点的横坐标为定值；
（2）如果，点的纵坐标小于3，求的面积的最大值.

2 . 已知抛物线 与直线 相交于A、B两点，点O是坐标原点.
（Ⅰ）求证：OAOB；
（Ⅱ）当△OAB的面积等于时，求t的值.

3 . 设直线过双曲线的中心，与双曲线交于，两点，是双曲线上的任意一点，求证：直线，斜率的乘积为定值.

4 . 已知抛物线的焦点为，轴上方的点在抛物线上，且，直线与抛物线交于，两点（点，与不重合），设直线，的斜率分别为，.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）当时，求证：直线恒过定点并求出该定点的坐标.

5 . 已知椭圆C的方程为，离心率为，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过动点的直线交轴的负半轴于点，交C于点(在第一象限)，且是线段的中点，过点作x轴的垂线交C于另一点，延长线交C于点.
(i)设直线，的斜率分别为，，证明：；
(ii)求直线的斜率的最小值.

6 . 已知点F₁、F₂为双曲线（b＞0）的左、右焦点，过F₂作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF₁F₂=30°，圆O的方程是x²+y²=b²．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P₁、P₂，求的值；
（3）过圆O上任意一点Q作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：|AB|=2|OM|．

7 . 已知抛物线的焦点为，直线与相交于两点．

（1）记直线的斜率分别为，求证：；
（2）若抛物线上异于的一点到的准线的距离为，且，问：直线是否恒过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．

8 . 已知椭圆的焦点是双曲线的顶点，椭圆的顶点是双曲线的焦点．
（1）求椭圆的离心率；
（2）若、分别是椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于、的一点．求证：直线和直线的斜率之积为定值．

9 . 已知，是动点，以为直径的圆与圆：内切.
（1）求的轨迹的方程；
（2）设是圆与轴的交点，过点的直线与交于两点，直线交直线于点，求证：三点共线.

10 . 已知椭圆经过点，其离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）若不经过点的直线与椭圆相交于两点，且，证明：直线经过定点．