名校
1 . 法国数学家拉格朗日于1797年在其著作《解析函数论》中给出了一个定理，具体如下．如果函数
满足如下条件．（1）在闭区间
上是连续的；（2）在开区间
上可导则在开区间上至少存在一点ξ，使得
成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被称为“拉格朗日中值”．则
在区间
上的“拉格朗日中值”
______ ．
满足如下条件．（1）在闭区间上是连续的；（2）在开区间上可导则在开区间上至少存在一点ξ，使得成立，此定理即“拉格朗日中值定理”，其中ξ被称为“拉格朗日中值”．则在区间上的“拉格朗日中值”
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2024高三上·全国·专题练习
2 . 拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，其定理陈述如下：如果函数
在闭区间
上连续，在开区间
内可导，则在区间内至少存在一个点
，使得
称为函数
在闭区间上的中值点，若关于函数
在区间
上的“中值点”的个数为m，函数
在区间
上的“中值点”的个数为n，则有
（ ）（参考数据：
.）
在闭区间上连续，在开区间内可导，则在区间内至少存在一个点，使得称为函数在闭区间上的中值点，若关于函数在区间上的“中值点”的个数为m，函数在区间上的“中值点”的个数为n，则有（ ）（参考数据：.）| A．1 | B．2 | C．0 | D． |
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名校
解题方法
3 . 德国数学家莱布尼茨是微积分的创立者之一，他从几何问题出发，引进微积分的概念．在研究切线时，他对切线问题理解为“求一条切线意味着画一条直线连接曲线上距离无穷小的两个点”，这也正是导数定义的内涵之一．已知曲线
在点
处的切线与直线
垂直，则常数
的值是（ ）
在点处的切线与直线垂直，则常数的值是（ ）A． | B． | C． | D． |
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2023-10-08更新
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415次组卷
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3卷引用：河南省TOP二十名校2024届高三上学期调研考试四数学试题
4 . 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇.衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若
是
的导函数，
是的导函数，则曲线在点
处的曲率
.若
，则曲线在
处的曲率
是（ ）
是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率.若，则曲线在处的曲率是（ ）| A．0 | B． | C．1 | D． |
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2023-09-09更新
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447次组卷
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8卷引用：湖南省益阳市2023-2024学年高三上学期9月月考数学试题
湖南省益阳市2023-2024学年高三上学期9月月考数学试题（已下线）第十章 导数与数学文化 微点3 导数与数学文化（三）（已下线）模块四 专题7 新情境专练（基础）河南省南阳市唐河县鸿唐高级中学2024届高三上学期10月月考数学试题（已下线）第01讲 导数的概念与运算-【寒假预科讲义】2024年高二数学寒假精品课（人教A版2019）（已下线）高二 模块3 专题1 小题进阶提升练广东省四会中学、广信中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（已下线）高二 模块3 专题1 第1套 小题进阶提升练（苏教版）
2023高三·全国·专题练习
名校
5 . 牛顿迭代法是求方程近似解的另一种方法．如图，方程
的根就是函数的零点
，取初始值
，的图象在横坐标为的点处的切线与
轴的交点的横坐标为
，的图象在横坐标为的点处的切线与轴的交点的横坐标为
，一直继续下去，得到，，…，
，它们越来越接近．若
，
，则用牛顿法得到的的近似值约为（ ）
| A．1.438 | B．1.417 | C．1.416 | D．1.375 |
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名校
解题方法
6 . 英国物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出的“牛顿数列”在航空航天中应用广泛.若数列
满足
，则称数列为牛顿数列.若
，数列为牛顿数列，且
，
，数列的前n项和为
，则满足
的最大正整数n的值为（ ）
满足，则称数列为牛顿数列.若，数列为牛顿数列，且，，数列的前n项和为，则满足的最大正整数n的值为（ ）| A．10 | B．11 | C．12 | D．13 |
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2023-06-20更新
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354次组卷
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3卷引用：内蒙古赤峰新城红旗中学、赤峰第四中学、赤峰第二中学2022-2023学年高三下学期5月联考数学试题（理科）
内蒙古赤峰新城红旗中学、赤峰第四中学、赤峰第二中学2022-2023学年高三下学期5月联考数学试题（理科）内蒙古赤峰二中、赤峰第四中学、红旗中学2022-2023学年高三5月模拟考试理科数学试题（已下线）第二章导数及其应用章末十八种常考题型归类（4）
名校
7 . 在微积分中“以直代曲”是最基本，最朴素的思想方法，中国古代科学家刘徽创立的“割圆术”，用圆的外切正
边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率
的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.请用函数
“近似计算”
的值为__________ （结果用分数表示）.
边形和内接正边形“内外夹逼”的办法求出了圆周率的精度较高的近似值，事实上就是用“以直代曲”的思想进行近似计算的，它是我国最优秀的传统科学文化之一.借用“以直代曲”的方法，在切点附近可以用函数图象的切线代替在切点附近的曲线来“近似计算”.请用函数“近似计算”的值为
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名校
8 . 英国数学家布鲁克·泰勒（Brook Taylor，1685.8~1731.11）以发现泰勒公式和泰勒级数而闻名于世.根据泰勒公式，我们可知：如果函数在包含的某个开区间上具有
阶导数，那么对于
，有
，若取
，则
，此时称该式为函数在
处的阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将
，
，
，
，
等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如
，
，则运用上面的想法求
的近似值为（ ）
在包含的某个开区间上具有阶导数，那么对于，有，若取，则，此时称该式为函数在处的阶泰勒公式.计算器正是利用这一公式将，，，，等函数转化为多项式函数，通过计算多项式函数值近似求出原函数的值，如，，则运用上面的想法求的近似值为（ ）| A．0.50 | B． | C． | D．0.56 |
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2023-05-28更新
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714次组卷
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9卷引用：陕西省咸阳市武功县普集高级中学2023届高三下学期模拟预测(6)文科数学试题
陕西省咸阳市武功县普集高级中学2023届高三下学期模拟预测(6)文科数学试题陕西省咸阳市武功县普集高级中学2023届高三下学期六模理科数学试题福建省厦门市松柏中学2024届高三上学期第一次月考数学试题安徽省淮南市兴学教育咨询有限公司2023-2024学年高三上学期阶段性测试数学试卷湖南省岳阳市湘阴县知源高级中学2024届高三上学期第二次月考数学试题（已下线）第三章 一元函数的导数及其应用（测试）（已下线）第十章 导数与数学文化 微点2 导数与数学文化（二）（已下线）专题14 导数概念及运算（已下线）第14题 充分利用三角公式的比大小问题（压轴小题）
名校
9 . 拉格朗日中值定理是微分学的基本定理之一，内容为：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得
成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数
在
上的“拉格朗日中值点”为（ ）
| A．1 | B．e | C． | D． |
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2023-05-20更新
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764次组卷
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3卷引用：黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题
黑龙江省哈尔滨市第三中学校2022-2023学年高二下学期期中数学试题（已下线）第十章 导数与数学文化 微点2 导数与数学文化（二）黑龙江省哈尔滨市第六中学校2022-2023学年高二下学期第三次阶段检测数学试题
10 . 小明同学是班上的“数学小迷精”，高一的时候，他跟着老师研究了函数
当
时的图像特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼，感觉颇有趣味.后来，他独自研究了函数当
时的图像特点与基本性质，发现这类函数在
轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”.现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数：
和
.得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下两个问题，请你解答：
(1)当
，
时，经过点
作曲线的切线，切点为
.求证：不论p怎样变化，点总在一个“双升双降函数”的图像上；
(2)当
，
，
时，若存在斜率为
的直线与曲线和
都相切，求
的最小值.
当时的图像特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼，感觉颇有趣味.后来，他独自研究了函数当时的图像特点与基本性质，发现这类函数在轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”.现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数：和.得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下两个问题，请你解答：(1)当
，时，经过点作曲线的切线，切点为.求证：不论p怎样变化，点总在一个“双升双降函数”的图像上；(2)当
，，时，若存在斜率为的直线与曲线和都相切，求的最小值.
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