1 . 在
中，角
的对边分别是
，且
，求证：角
为锐角．
中，角的对边分别是，且，求证：角为锐角．
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2 . 我们把
（其中
）称为一元
次多项式方程.代数基本定理：任何一元
次复系数多项式方程（即
为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为个一元一次多项式的积.即
，其中
，
为方程的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即为实数），方程有实数根，则多项式
必可分解因式.例如：观察可知，
是方程
的一个根，则
一定是多项式
的一个因式，即
，由待定系数法可知，
.
(1)在复数集内解方程：
；
(2)设
，其中
，且
.
（i）分解因式：
；
（ii）记点
是
的图象与直线
在第一象限内离原点最近的交点.求证：当
时，
.
（其中）称为一元次多项式方程.代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程（即为实数）在复数集内至少有一个复数根；由此推得，任何一元次复系数多项式方程在复数集内有且仅有个复数根（重根按重数计算）.那么我们由代数基本定理可知：任何一元次复系数多项式在复数集内一定可以分解因式，转化为个一元一次多项式的积.即，其中，为方程的根.进一步可以推出：在实系数范围内（即为实数），方程有实数根，则多项式必可分解因式.例如：观察可知，是方程的一个根，则一定是多项式的一个因式，即，由待定系数法可知，.(1)在复数集内解方程：
；(2)设
，其中，且.（i）分解因式：
；（ii）记点
是的图象与直线在第一象限内离原点最近的交点.求证：当时，.
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3 . 若
，求证：
，
，求证：，
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解题方法
4 . 直线
与平面
相交于点
，过点在平面内作三条射线
，
，
，
，求证：
．
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5 . 求证:
(1)
;
(2)
.
(1)
;(2)
.
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6 . 四面体
中，
，求证：
与
中边
上的高
和
必为异面直线．
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7 . 设
，求证：
(1)
；
(2)
.
，求证：(1)
；(2)
.
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解题方法
8 . 证明：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．
已知：如图，
，
，
，
求证：
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9 . 如图，在平面几何中，有如下命题“正三角形
的高为
，O是内任意一点， O到三边的距离分别为
，则
为定值；当O是的中心时，O到各边的距离均为
”．
证明如下：设正三角形边长为a，高h，O到三边的距离分别
，
则：
，即：
，
化简得，
，
（定值）．
若O是中心，则
，即：正三角形中心到各边的距离均为．
类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为h的正四面体（下图）相应的命题，并证明你的结论．
的高为，O是内任意一点， O到三边的距离分别为，则为定值；当O是的中心时，O到各边的距离均为”．证明如下：设正三角形
边长为a，高h，O到三边的距离分别，则：
，即：，化简得，
，（定值）．若O是
中心，则，即：正三角形中心到各边的距离均为． 类比此命题及证明方法，在立体几何中，请写出高为h的正四面体
（下图）相应的命题，并证明你的结论．
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名校
解题方法
10 . 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受.形如
的数称为复数，其中
称为实部，
称为虚部，i称为虚数单位，
.当
时，
为实数；当
且时，为纯虚数.其中
，叫做复数的模.设
，
，，，
，
，
如图，点
，复数
可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，
轴叫做实轴，
轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成
的形式，即
，其中
为复数的模，
叫做复数的辐角，我们规定
范围内的辐角的值为辐角的主值，记作
.叫做复数的三角形式.
，
，求
、
的三角形式；
(2)设复数
，
，其中
，求
；
(3)在中，已知、、为三个内角
的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：
①
；
②
，
，
.
注意：使用复数以外的方法证明不给分.
的数称为复数，其中称为实部，称为虚部，i称为虚数单位，.当时，为实数；当且时，为纯虚数.其中，叫做复数的模.设，，，，，，如图，点，复数可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.显然，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.按照这种表示方法，每一个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应，反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应.一般地，任何一个复数都可以表示成的形式，即，其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作.叫做复数的三角形式.
，，求、的三角形式；(2)设复数
，，其中，求；(3)在
中，已知、、为三个内角的对应边.借助平面直角坐标系及阅读材料中所给复数相关内容，证明：①
；②
，，.注意：使用复数以外的方法证明不给分.
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2024-03-12更新
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399次组卷
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3卷引用：黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2023-2024学年高一下学期开学考试数学试卷
