1 . 如图，在四棱锥中，，且.

(1)若平面，证明：点为棱的中点；
(2)已知二面角的大小为，当平面和平面的夹角为时，求证：.

2 . 如图，在三棱柱ABC−中，平面ABC，D，E，F，G分别为，AC，，的中点，AB=BC=，AC==2．

   

（1）求证：AC⊥平面BEF；
（2）求二面角B−CD−C₁的余弦值；
（3）证明：直线FG与平面BCD相交．

3 . 在四棱锥中，，，和都是边长为2的等边三角形，设在底面的射影为.

(1)求证：是中点；
(2)证明：；
(3)求二面角的余弦值.

5 . 如图，四棱柱的底面是平行四边形，底面，.

(1)求证：平面平面；
(2)求与平面所成角的正弦值；
(3)求平面与平面夹角的余弦值.

6 . 如图1，在中，，，点D是线段AC的中点，点E是线段AB上的一点，且，将沿DE翻折到的位置，使得，连接PB，PC，如图2所示，点F是线段PB上的一点．

(1)若，求证：平面；
(2)若直线CF与平面所成角的正弦值为，求线段BF的长．

7 . 已知双曲线 的左、右顶点分别为 与 ，点 在 上，且直线 与 的斜率之和为 .
(1)求双曲线 的方程;
(2)过点的直线与 交于 两点(均异于点 )，直线 与直线 交于点，求证: 三点共线.

8 . 如图，已知抛物线：与点，过点作的两条切线，切点分别为，．
   
(1)若，求切线的方程；
(2)若，求证：直线恒过定点．

9 . 如图，是以为直径的圆上的点，平面分别是线段上的点，且满足，．

(1)求证：；
(2)若二面角的正弦值为，求的值．

10 . 如图，在三棱锥中，底面是等腰直角三角形，，，且，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)若二面角的大小为，求与平面所成角的正弦值．