1 . 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：若，则称为空间向量与的叉乘，其中，， 为单位正交基底. 以 为坐标原点、分别以，，的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知，是空间直角坐标系中异于 的不同两点
(1)①若，，求；
②证明.
(2)记的面积为 ，证明：.
(3)证明：的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍.

2 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，，上、下顶点分别为，，四边形的面积为6，坐标原点到直线的距离为．
(1)求的方程；
(2)过点作射线，与直线、椭圆分别交于点，（异于点），直线与相交于点，证明：，，三点共线．

3 . 在平面直角坐标系中，已知圆E：和定点，P为圆E上的动点，线段的垂直平分线与直线交于点Q，设动点Q的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)若为曲线上两点，点在直线上，试在①直线过点；②；③直线过点三者中选择其中两者作为条件，剩下的一个作为结论，并证明其成立.

4 . 在平面直角坐标系中，设点是椭圆上一点，以M为圆心的一个半径的圆，过原点作此圆的两条切线分别与椭圆C交于点P、Q.
(1)若直线的斜率都存在，且分别记为.求证：为定值；
(2)探究是否为定值，若是，则求出的最大值；若不是，请说明理由.

5 . 已知椭圆C的方程为，其离心率为，，为椭圆的左右焦点，过作一条不平行于坐标轴的直线交椭圆于A，B两点，的周长为8

(1)求椭圆C的方程;
(2)过B作x轴的垂线交椭圆于点
①试讨论直线AD是否恒过定点，若是，求出定点坐标;若不是，请说明理由.
②求面积的最大值.

6 . 如图，在平面直角坐标系中，已知双曲线：的右焦点为，左、右顶点分别为，，过且斜率不为0的直线与的左、右两支分别交于、两点，与的两条渐近线分别交于、两点（从左到右依次为、、、），记以为直径的圆为圆．

(1)当与圆相切时，求；
(2)求证：直线与直线的交点在圆内．

8 . 若椭圆和的方程分别为和（且）则称和为相似椭圆．己知椭圆，过上任意一点P作直线交于M，N两点，且，则的面积最大时，的值为（       ）

A．

B．

C．

D．

9 . 已知椭圆的离心率为，右焦点与抛物线的焦点重合，上顶点B到直线的距离为．
(1)求椭圆和抛物线的标准方程；
(2)若直线与椭圆交于H，K两点，与抛物线交于M，N两点，过点M作x轴的垂线，与直线交于点G，点M关于点G的对称点为P，且O，N，P三点共线，求面积的最大值．

10 . 已知动点分别与定点和连线的斜率乘积.
(1)求动点的轨迹方程；
(2)是的右焦点，若过点，与曲线交于，两点，是否存在轴上的点，使得直线绕点无论怎么转动，都有成立？若存在，求出的坐标：若不存在，请说明理由.
(3)是的右焦点，设点位于第一象限，的平分线交于点，求证：.