1 . 设抛物线C：（），直线l：交C于A，B两点．过原点O作l的垂线，交直线于点M．对任意，直线AM，AB，BM的斜率成等差数列．
(1)求C的方程；
(2)若直线，且与C相切于点N，证明：的面积不小于．

2 . 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比为常数．其中，且，记点的轨迹为曲线．
(1)求的方程，并说明轨迹的形状；
(2)设点，若曲线上两动点均在轴上方，，且与相交于点．
①当时，求证：的值及的周长均为定值；
②当时，记的面积为，其内切圆半径为，试探究是否存在常数，使得恒成立？若存在，求（用表示）；若不存在，请说明理由．

3 . 已知动点到直线的距离与它到定点的距离之比为，记点的轨迹为曲线.
(1)求的方程；
(2)记与轴的上､下半轴的交点依次为，若为上异于的一点，且直线分别交直线于两点，直线交于点（异于）.
（i）求直线的斜率之积；
（ii）证明：直线恒过定点.

4 . 在平面直角坐标系中，动点在双曲线的一条渐近线上，已知的焦距为4，且为的一个焦点，当最小时，的面积为.
(1)求的方程；
(2)已知点，直线与交于两点.当时，上存在点使得，其中依次为直线的斜率，证明：在定直线上.

5 . 在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为和，设的面积为，内切圆半径为，当时，记顶点的轨迹为曲线．
(1)求的方程；
(2)已知点，，，在上，且直线与相交于点，记，的斜率分别为，．
(i) 设的中点为，的中点为，证明：存在唯一常数，使得当时，；
(ii) 若，当最大时，求四边形的面积．

6 . 已知定点，关于原点对称的动点，到定直线的距离分别为，，且，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程，并说明曲线是什么曲线？
(2)已知点，是直线与曲线的两个交点，，在轴上的射影分别为，（，不同于原点），且直线与直线相交于点，求与面积的比值.

7 . 已知双曲线：，点M为双曲线C右支上一点，A、B为双曲线C的左、右顶点，直线与y轴交于点D，点Q在x轴正半轴上，点E在y轴上.
(1)若点，，过点Q作BM的垂线l交该双曲线C于S，T两点，求的面积；
(2)若点M不与B重合，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①；②；③.注:若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.

8 . 马戏团的表演场地是一个圆锥形棚，如图，为棚顶，是棚底地面的中心，为棚底直径，，是棚底的内接正三角形，中间的支柱米，从支柱上的点向棚底周围拉了4根绳子供动物攀爬表演，有一个节目表演的是猴子从点沿着绳子爬到点，再沿着爬到棚顶，然后从棚顶跳到中的某一根绳子上.

(1)当点取在距离点米处时，证明拉绳所在直线和平面垂直；
(2)经验表明当拉绳所在直线和平面所成角的正弦值最大时，节目的观赏性最佳，问此时应该把点取在什么位置.

9 . 如图，四边形ABCD是圆柱底面的内接四边形，是圆柱的底面直径，是圆柱的母线，E是AC与BD的交点，，．

(1)记圆柱的体积为，四棱锥的体积为，求；
(2)设点F在线段AP上，，求二面角的余弦值．

10 . 点是平面直角坐标系上一动点，两直线，，已知于点，位于第一象限；于点，位于第四象限.若四边形的面积为2.
(1)若动点的轨迹为，求的方程.
(2)设，过点分别作直线，交于点，.若与的倾斜角互补，证明直线的斜率为一定值，并求出这个定值.