1 . 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的离心率为，短轴长为2.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)已知点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点D为椭圆C的下顶点，点P为椭圆C上异于椭圆顶点的动点，直线AP与直线BD相交于点M，直线BP与直线AD相交于点N.证明：直线MN与x轴垂直.

2 . 已知点，，动点到点，的距离和等于4．
(1)试判断点的轨迹的形状，并写出其方程；
(2)若曲线与直线相交于、两点，求弦的长．

3 . 如图，在正四棱柱中，，分别是，的中点，，.

（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.

4 . 若双曲线的离心率等于，直线与双曲线E的右支交于A、B两点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）求k的取值范围；
（3）若，求k的值.

5 . 已知椭圆上一点P到它的两个焦点（左），（右）的距离的和是6.
（1）求椭圆C的标准方程和离心率e；
（2）若轴，且P在y轴上的射影为点Q，求点Q的坐标.

6 . 求椭圆的长轴和短轴长，离心率，焦点坐标和顶点坐标.

7 . 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，为上的动点．

（1）若平面，请确定点的位置，并说明理由．
（2）设，，若，求二面角的正弦值．

8 . 已知的长轴长为4，短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为椭圆C上的动点（异于A，B两点），过原点O作直线PB的垂线，垂足为H，直线OH与直线AP相交于点M，证明：点M的横坐标为定值．

9 . 已知动点到点（为常数且）的距离与到直线的距离相等，且点在动点的轨迹上．
（1）求动点的轨迹的方程，并求t的值；
（2）在（1）的条件下，已知直线与轨迹交于两点，点是线段的中点，求直线的方程．

10 . 设椭圆C：过点（0，4），离心率为.
（1）求C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．