名校
1 . 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：
.若
，则称
为空间向量
与
的叉乘，其中
，
，
为单位正交基底.以
为坐标原点，分别以
的方向为
轴､
轴､
轴的正方向建立空间直角坐标系，已知
是空间直角坐标系中异于的不同两点.
(1)①若
，求
；
②证明：
.
(2)记
的面积为
，证明：
；
(3)问：
的几何意义表示以为底面､
为高的三棱锥体积的多少倍？
.若，则称为空间向量与的叉乘，其中，，为单位正交基底.以为坐标原点，分别以的方向为轴､轴､轴的正方向建立空间直角坐标系，已知是空间直角坐标系中异于的不同两点.(1)①若
，求；②证明：
.(2)记
的面积为，证明：；(3)问：
的几何意义表示以为底面､为高的三棱锥体积的多少倍？
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2024-03-26更新
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411次组卷
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2卷引用：重庆市荣昌中学校2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
名校
解题方法
2 . 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中．阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是已知动点
与两定点
，
的距离之比
，
是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线
上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为
，定点分别为椭圆
的右焦点
与右顶点
，且椭圆
的离心率为
．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过右焦点斜率为
的直线
与椭圆相交于
，
（点在轴上方），点
，
是椭圆上异于，的两点，
平分
，
平分
．
①求
的取值范围；
②将点、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若
外接圆的面积为
，求直线的方程．
与两定点，的距离之比，是一个常数，那么动点的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线上．已知动点的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为，定点分别为椭圆的右焦点与右顶点，且椭圆的离心率为．（1）求椭圆
的标准方程；（2）如图，过右焦点
斜率为的直线与椭圆相交于，（点在轴上方），点，是椭圆上异于，的两点，平分，平分．①求
的取值范围；②将点
、、看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若外接圆的面积为，求直线的方程．
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2021-07-12更新
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5036次组卷
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10卷引用：重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题
重庆市巴蜀中学2020-2021学年高二下学期期末数学试题重庆市南开中学校2023届高三上学期期末数学试题（已下线）专题12 圆锥曲线的方程的压轴题（二)-【尖子生专用】2021-2022学年高二数学考点培优训练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第3章 圆锥曲线与方程 单元综合检测（能力提升）（单元培优）-2021-2022学年高二数学课后培优练（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）专题08 《圆锥曲线与方程》中的解答题压轴题（2）-2021-2022学年高二数学同步培优训练系列（苏教版2019选择性必修第一册） （已下线）专题1 阿波罗尼斯圆及其应用 微点4 阿波罗尼斯圆与圆锥曲线安徽省合肥一六八中学等学校2024届高三上学期名校期末联合测试数学试题安徽“耀正优+”2024届高三名校上学期期末测试数学试题（已下线）圆锥曲线新定义（已下线）信息必刷卷01（江苏专用，2024新题型）
名校
解题方法
3 . 椭圆
（
）的离心率等于
，它的一个长轴端点恰好是抛物线
的焦点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线与椭圆有且只有一个公共点，且直线与直线
和
分别交于
两点，试探究以线段
为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点，若不恒过定点，请说明理由.
（）的离心率等于，它的一个长轴端点恰好是抛物线的焦点.（1）求椭圆
的方程；（2）若直线
与椭圆有且只有一个公共点，且直线与直线和分别交于两点，试探究以线段为直径的圆是否恒过定点？若恒过定点，求出该定点，若不恒过定点，请说明理由.
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名校
解题方法
4 . 如图，B，A是椭圆
的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是
，
，
.
（1）求证：
；
（2）若直线PQ过定点
，求证：
.
的左、右顶点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是，，.（1）求证：
；（2）若直线PQ过定点
，求证：.
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5 . 如图，三棱锥
中，
，
，
，
，
.
（1）求证：平面
平面ABC；
（2）M是线段AC上一点，若
，求二面角
的大小.
中，，，，，.（1）求证：平面
平面ABC；（2）M是线段AC上一点，若
，求二面角的大小.
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6 . 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验，设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为
，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、
为顶点的抛物线的实线部分，降落点为
.观测点
、
同时跟踪航天器.
（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、为顶点的抛物线的实线部分，降落点为.观测点、同时跟踪航天器.（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；
（2）试问：当航天器在
轴上方时，观测点、测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？
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2020-02-29更新
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433次组卷
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12卷引用：重庆市第十八中学2022-2023学年高二上学期线上素质测评数学试题
重庆市第十八中学2022-2023学年高二上学期线上素质测评数学试题上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题江西省新余市2020-2021学年高二下学期期末数学（理）试题苏教版(2019) 选修第一册 突围者 第3章 章末培优专练北师大版(2019) 选修第一册 突围者 第二章 章末培优专练上海市徐汇区2020-2021学年高二上学期期末数学试题沪教版(2020) 选修第一册 新课改一课一练 第2章 2.4.2.1抛物线的性质（1）2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷）（已下线）2.4抛物线（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选修第一册）2.3.1抛物线及其标准方程（习题）-2021-2022学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册3.5圆锥曲线的应用 同步练习（已下线）通关练17 抛物线8考点精练（3）
名校
7 . 已知椭圆：
的左、右焦点分别是
，
，点
，若
的内切圆的半径与外接圆的半径的比是
.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的右顶点，设圆
：
，不与轴垂直的直线与交于、两点，原点到直线的距离为
，线段
、
分别与椭圆交于、
，
，垂足为.设
，
，
的面积为
，
的面积为
.
①试确定与
的关系式；、
②求
的最大值.
：的左、右焦点分别是，，点，若的内切圆的半径与外接圆的半径的比是.（1）求椭圆
的方程；（2）设
为椭圆的右顶点，设圆：，不与轴垂直的直线与交于、两点，原点到直线的距离为，线段、分别与椭圆交于、，，垂足为.设，，的面积为，的面积为.①试确定
与的关系式；、②求
的最大值.
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名校
8 . 已知椭圆
（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知
.
（1）若
，判断椭圆
是否为“圆椭圆”；
（2）若椭圆是“圆椭圆”，求
的取值范围；
（3）若椭圆是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线
、
分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.
（），点为椭圆短轴的上端点，为椭圆上异于点的任一点，若点到点距离的最大值仅在点为短轴的另一端点时取到，则称此椭圆为“圆椭圆”，已知.（1）若
，判断椭圆是否为“圆椭圆”；（2）若椭圆
是“圆椭圆”，求的取值范围；（3）若椭圆
是“圆椭圆”，且取最大值，为关于原点的对称点，也异于点，直线、分别与轴交于、两点，试问以线段为直径的圆是否过定点？证明你的结论.
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2020-01-13更新
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673次组卷
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7卷引用：重庆市江津中学2022-2023学年高二上学期10月阶段性考试数学试题
重庆市江津中学2022-2023学年高二上学期10月阶段性考试数学试题上海市徐汇区2019-2020学年高三上学期第一次模拟数学试题（已下线）考向04 一次函数与二次函数-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）（已下线）江苏省南通市如皋市2021-2022学年高二上学期第一次调研测试模拟演练数学试题（已下线）第13讲 椭圆 - 1（已下线）压轴题圆锥曲线新定义题(九省联考第19题模式）练上海市七宝中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
名校
9 . 抛物线
焦点为F，
上任一点P在y轴的射影为Q，PQ中点为R，
．
（1）求动点T的轨迹
的方程；
（2）直线
过F与从下到上依次交于A，B，与交于F，M，直线
过F与从下到上依次交于C，D，与交于F，N，，的斜率之积为-2．
（i）求证：M，N两点的横坐标之积为定值；
（ii）设△ACF，△MNF，△BDF的面积分别为
，
，
，求证：
为定值.
焦点为F，上任一点P在y轴的射影为Q，PQ中点为R，．（1）求动点T的轨迹
的方程；（2）直线
过F与从下到上依次交于A，B，与交于F，M，直线过F与从下到上依次交于C，D，与交于F，N，，的斜率之积为-2．（i）求证：M，N两点的横坐标之积为定值；
（ii）设△ACF，△MNF，△BDF的面积分别为
，，，求证：为定值.
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10 . 已知椭圆
（）的半焦距为
，原点
到经过两点
，
的直线的距离为
．
（Ⅰ）求椭圆
的离心率；
（Ⅱ）如图，
是圆
的一条直径，若椭圆经过
，
两点，求椭圆的方程．
（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆
的离心率；（Ⅱ）如图，
是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．
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2019-01-30更新
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4547次组卷
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31卷引用：2015-2016学年重庆市三峡名校联盟高二12月联考理科数学试卷
2015-2016学年重庆市三峡名校联盟高二12月联考理科数学试卷2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（陕西卷）2015-2016学年辽宁省沈阳二中高二上10月月考数学试卷2015-2016学年河北省秦皇岛市卢龙县高二上学期期末理科数学试卷2015-2016学年陕西省西安一中高二上学期期末理科数学试卷2016-2017学年天津市静海县第一中学高二上学期期末五校联考理数试卷天津市实验中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学（理）试题【全国百强校】黑龙江省大庆第一中学2018-2019学年高二上学期期末考试数学（文）试题湖北鄂州市2018-2019学年度高中质量监测高二数学（文科）试题黑龙江省大庆市铁人中学2019-2020学年高二上学期10月月考数学（文）试题（已下线）专题9.5 椭圆（讲）-浙江版《2020年高考一轮复习讲练测》陕西省宝鸡市渭滨区2019-2020学年高二上学期期末数学(理)试题2020届江西省南昌市第二中学高三第一次模拟测试卷理科数学试题专题07+解析几何-2021高考数学（理）高频考点、热点题型归类强化（已下线）专题9.3 椭圆（精讲）-2021年新高考数学一轮复习学与练（已下线）专题9.3 椭圆（讲）-2021年新高考数学一轮复习讲练测（已下线）第九单元 解析几何 (A卷 基础过关检测）-2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷河北省衡水市阜城中学2020-2021学年高二上学期期末数学试题江西省新余市第一中学2021届高三全真模拟考试数学（理）试题云南省楚雄天人中学2019-2020学年高二5月学习效果监测数学（理）试题（已下线）3.1 椭圆（难点）（课堂培优）-2021-2022学年高二数学课后培优练（苏教版2019选择性必修第一册）（已下线）专题9.3 椭圆 2022年高考数学一轮复习讲练测（新教材新高考）（讲）黑龙江省大庆市大庆实验中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题山西省运城市2021-2022学年高二上学期期末数学试题广东省东莞市光明中学2021-2022学年高二上学期期中数学试题江苏省连云港市2022-2023学年高二上学期期末调研数学试题（10）云南省昆明市第三中学2022届高三上学期第二次综合测试数学（理）试题吉林省长春市第六中学2022-2023学年高三上学期期末数学试题山西省阳泉市第一中学校2022-2023学年高二上学期11月期中考试数学试题宁夏石嘴山市第三中学2016届高三上学期第四次适应性考试数学（文）试题（已下线）专题24 解析几何解答题（理科）-1
