1 . 已知椭圆与双曲线的焦距之比为．
(1)求椭圆和双曲线的离心率；
(2)设双曲线的右焦点为F，过F作轴交双曲线于点P（P在第一象限），A，B分别为椭圆的左、右顶点，与椭圆交于另一点Q，O为坐标原点，证明：．

2 . 已知直四棱柱的底面是菱形，且，分别是侧棱的中点．

   

(1)证明：四边形为菱形．
(2)求点到平面的距离．

3 . 如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．

(1)证明：EF∥平面PCD；
(2)若PA＝AB，求EF与平面PAC所成角的大小．

4 . 如图，在四棱锥中，，，，，，，都在平面的上方.

(1)证明：平面平面；
(2)若，且平面CDE与平面ABE所成锐二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.

5 . 已知的右焦点为，点到的一条渐近线的距离为，过点的直线与相交于两点.当轴时，.
(1)求的方程.
(2)若，是直线上一点，当三点共线时，判断直线的斜率是否为定值.若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.

6 . 已知函数的定义域为，，若有且只有一个成立，求实数的取值范围.

7 . 在平面直角坐标系中，直线的方程为，过点且与直线相切的动圆圆心为点，记点的轨迹为曲线.
（1）求的方程；
（2）若直线与相交于两点，与轴的交点为.若，求.

8 . 已知四棱锥的底面是边长为1的正方形，侧棱底面，且是侧棱上的动点.

（1）求证：；
（2）若点为的中点，求平面与平面所成二面角的正弦值.

9 . 已知椭圆 的离心率为，其中左焦点.
（1）求出椭圆的方程；
（2）若直线与曲线交于不同的两点，且线段的中点在曲线上，求的值.

10 . 如图1，等边中，，是边上的点（不与重合），过点作交于点，沿将向上折起，使得平面平面，如图2所示．
（1）若异面直线与垂直，确定图1中点的位置；
（2）证明：无论点的位置如何，二面角的余弦值都为定值，并求出这个定值．