1 . 已知双曲线的离心率为，右焦点到双曲线C的一条渐近线的距离为1，两动点A，B在双曲线C上，线段AB的中点为.
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)O为坐标原点，若的面积为，求直线AB的方程.

2 . 已知椭圆的离心率，且上的点到的距离的最大值为.
(1)求的方程；
(2)过的直线与交于，记关于轴的对称点为.证明：直线恒过定点；

3 . 已知椭圆的左、右焦点分别是，上顶点为，其长轴长是短轴长的2倍，是上任意一点，的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)过作一直线与交于两点，直线与轴分别交于点，求证：的中点是定点．

4 . 已知抛物线Γ：，A为第一象限内Γ上的一点，设A的纵坐标为.
(1)若点A到Γ的准线的距离为3，求a的值；
(2)若，B为x轴上的一点，且线段AB的中点在Γ上，求点B的坐标及原点O到直线AB的距离；
(3)设直线l：，P是第一象限内Γ上异于A的动点，直线AP与直线l交于点Q，点H为点P在直线l上的投影，若点A满足性质“当点P变化时，恒成立”，求a的取值范围.

5 . 已知A，B分别是双曲线的左、右顶点，P是C上异于A，B的一点，直线PA，PB的斜率分别为，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)已知过点的直线，交C的左，右两支于D，E两点（异于A，B）.
（i）求m的取值范围；
（ii）设直线AD与直线BE交于点Q，求证：点Q在定直线上.

6 . 已知抛物线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为Q，且Q点的横坐标为3．
(1)求抛物线E的方程；
(2)过点的直线l与抛物线E相交于两点，B关于x轴的对称点为，求证：直线必过定点．

7 . 在平面直角坐标系中，动点在抛物线上运动，点在轴上的射影为，动点满足.
(1)求动点的轨迹的方程；
(2)过点作直线与曲线顺次交于、两点，过点作斜率为1的直线与曲线的另一个交点为点，求证：直线过定点.

8 . 在平面直角坐标系中，双曲线的左顶点到右焦点的距离是3，且的离心率是2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点是上位于第一象限的一点，点关于原点对称，点关于轴对称．延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中．
（ⅰ）求的取值范围，并判断是否成立？
（ⅱ）证明：不可能是的三等分线．

10 . 已知动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数．
(1)求动点的轨迹方程，并说明轨迹即曲线的形状．
(2)过作两直线与抛物线相切，且分别与曲线交于，两点，直线，的斜率分别为，．
①求证：为定值；
②试问直线是否过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．