1 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆过点，离心率为.分别是椭圆的上、下顶点，是椭圆上异于的一点.

（1）求椭圆的方程；
（2）若点在直线上，且，求的面积；
（3）过点作斜率为的直线分别交椭圆于另一点，交轴于点，且点在线段上（不包括端点），直线与直线交于点，求的值.

2 . 设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为________.

3 . 在平面直角坐标系中，点，过动点作直线的垂线，垂足为，且.记动点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点的直线交曲线于不同的两点，.
①若为线段的中点，求直线的方程；
②设关于轴的对称点为，求面积的取值范围.

4 . 已知椭圆C：(a＞b＞0)，左、右焦点分别为F₁(﹣1，0)，F₂(1，0)，椭圆离心率为，过点P(4，0)的直线l与椭圆C相交于A、B两点（A在B的左侧）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若B是AP的中点，求直线l的方程；
（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．

5 . 如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与圆相切，与椭圆相交于两点.
①若直线过椭圆的右焦点，且与圆切于第一象限，求的面积；
②求证：的值为定值.

6 . 已知椭圆C：的两个焦点分别为，点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过点M(1,0)的直线与椭圆C相交于A、B两点，设点N(3，2)，记直线AN、BN的斜率分别为k₁、k₂,求证：k₁+k₂为定值．

7 . 如图，在平面直角坐标系中，，分别为椭圆的左、右焦点．动直线过点，且与椭圆相交于，两点（直线与轴不重合）．

（1）若点的坐标为，求点坐标；
（2）点，设直线，的斜率分别为，，求证：；
（3）求面积最大时的直线的方程．

8 . 在平面直角坐标系中，圆，点，为抛物线上任意一点（异于原点），过点作圆的切线，为切点，则的最小值是___．

9 . 平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上一动点的直线，过F₂与x轴垂直的直线记为，右准线记为；
①设直线与直线相交于点M，直线与直线相交于点N，证明恒为定值，并求此定值．     
②若连接并延长与直线相交于点Q，椭圆的右顶点A，设直线PA的斜率为，直线QA的斜率为，求的取值范围．

10 . 如图，平面，，，，，是的中点.

（1）求证：平面；
（2）求二面角的余弦值.