名校
解题方法
1 . 如图，从长、宽、高分别为a，b，c的长方体
中截去部分几何体后，所得几何体为三棱锥
．下列四个结论中，所有正确结论的个数是（ ）．
①三棱锥的体积为
；
②三棱锥的每个面都是锐角三角形；
③三棱锥中，二面角
不会是直二面角；
④三棱锥中，三个侧面与底面所成的二面角分别记为
，
，
，则
．
| A．1 | B．2 | C．3 | D．4 |
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名校
解题方法
2 . 如图，在正方体
中，E为棱
的中点．动点P沿着棱
从点D向点C移动，对于下列三个结论：
①存在点P，使得
；
②
的面积越来越小；
③四面体
的体积不变．
其中，所有正确结论的个数是（ ）．
中，E为棱的中点．动点P沿着棱从点D向点C移动，对于下列三个结论：①存在点P，使得
；②
的面积越来越小；③四面体
的体积不变．其中，所有正确结论的个数是（ ）．
| A．0 | B．1 | C．2 | D．3 |
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2023-12-17更新
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209次组卷
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2卷引用：北京市海淀区北京理工大附中高三上学期12月练习数学试题
名校
解题方法
3 . 如图，在棱长为
的正方体中，点
，
分别在线段
和上．
给出下列四个结论：
①
的最小值为；
②四面体
的体积为
；
③有且仅有一条直线与垂直；
④存在点，，使
为等边三角形．
其中所有正确结论的序号是____ ．
的正方体中，点，分别在线段和上．给出下列四个结论：
①
的最小值为；②四面体
的体积为；③有且仅有一条直线
与垂直；④存在点
，，使为等边三角形．其中所有正确结论的序号是
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2023-03-27更新
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1878次组卷
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9卷引用：北京市西城区2023届高三一模数学试题
北京市西城区2023届高三一模数学试题专题12压轴题汇总（10、15、21题）专题08空间向量与立体几何北京卷专题19B空间向量与立体几何（选择填空题）北京市昌平区第一中学2024届高三上学期期中考试数学试题北京市陈经纶中学2023-2024学年高三上学期数学阶段性诊断练习6宁夏银川一中2022-2023学年高二下学期期中考试数学(理)试题（已下线）专题02 空间向量与空间角、空间距离【考题猜想】-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）高二上期中真题精选（易错60题30个考点专练）【考题猜想】-2023-2024学年高二数学上学期期中考点大串讲（人教A版2019选择性必修第一册）
4 . 如图，在四棱柱中，
平面
，
为线段
的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.
条件①：
；条件②：
.
与
所成角的余弦值；
(2)求点
到平面
的距离；
(3)已知点在线段
上，直线
与平面
所成角的正弦值为
，求线段
的长.
中，平面，为线段的中点，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：
；条件②：.
与所成角的余弦值；(2)求点
到平面的距离；(3)已知点
在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长.
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2023-01-07更新
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1242次组卷
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5卷引用：北京市西城区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题
北京市西城区2022-2023学年高二上学期期末考试数学试题北京市海淀区北京交大附中2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题（已下线）高二上学期期中考试解答题压轴题50题专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）考点13 立体几何中的探究问题 2024届高考数学考点总动员【练】（已下线）江苏省南通市2024届高三第二次调研测试数学试题变式题 16-19
名校
5 . 如图，在棱长为a的正方体中，P，Q分别为
的中点，点T在正方体的表面上运动，满足
．
给出下列四个结论：
①点T可以是棱
的中点；
②线段
长度的最小值为
；
③点T的轨迹是矩形；
④点T的轨迹围成的多边形的面积为
．
其中所有正确结论的序号是__________ ．
中，P，Q分别为的中点，点T在正方体的表面上运动，满足．给出下列四个结论：
①点T可以是棱
的中点；②线段
长度的最小值为；③点T的轨迹是矩形；
④点T的轨迹围成的多边形的面积为
．其中所有正确结论的序号是
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2023-01-06更新
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1140次组卷
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7卷引用：北京市朝阳区2023届高三上学期数学期末试题
北京市朝阳区2023届高三上学期数学期末试题北京市延庆区第二中学2023-2024学年高二上学期10月质量监测数学试题（已下线）北京市西城区2022届高三二模数学试题变式题11-15江西省丰城中学2023届高三下学期入学考试数学（文）试题四川省盐亭中学2022-2023学年高二下学期第一学月教学质量监测理科数学试题（已下线）高二上学期期中考试填空题压轴题50题专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题01 空间向量与立体几何（6）
名校
解题方法
6 . 在正方体
中，
为正方形
的中心.动点
沿着线段
从点
向点移动，有下列四个结论：
①存在点，使得
②三棱锥
的体积保持不变；
③
的面积越来越小；
④线段
上存在点
，使得
，且
.
其中所有正确结论的序号是______ .
中，为正方形的中心.动点沿着线段从点向点移动，有下列四个结论：①存在点
，使得②三棱锥
的体积保持不变；③
的面积越来越小；④线段
上存在点，使得，且.其中所有正确结论的序号是
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2022-12-29更新
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631次组卷
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3卷引用：北京市大兴区2023届高三上学期期末检测数学试题
北京市大兴区2023届高三上学期期末检测数学试题北京市第一零一中学2023-2024学年高三上学期数学统练五（已下线）1.2.1 空间中的点、直线与空间向量（分层训练）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教B版2019选择性必修第一册）
名校
7 . 如图，在三棱柱
中，四边形
是边长为4的菱形，
，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面
与棱
交于点E.
(1)求证：
；
(2)若
，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面
所成角的正弦值.条件①：平面
平面；条件②：
；条件③：
.
中，四边形是边长为4的菱形，，点D为棱AC上动点（不与A，C重合），平面与棱交于点E.(1)求证：
；(2)若
，从条件①､条件②､条件③这三个条件中选择两个条件作为已知，求直线AB与平面所成角的正弦值.条件①：平面平面；条件②：；条件③：.
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2022-10-20更新
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2750次组卷
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15卷引用：北京市西城区2022届高三二模数学试题
北京市西城区2022届高三二模数学试题北京市昌平区第二中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题北京市第五十七中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题北京市东城区2023届高三一模数学试题查漏补缺练习试题（2）（已下线）2022年新高考北京数学高考真题变式题9-12题空间向量与立体几何中的高考新题型（已下线）2022年新高考北京数学高考真题变式题16-18题全国大联考2023届高三第四次联考数学试卷（已下线）专题8-2 立体几何中的角和距离问题（含探索性问题）-3（已下线）北京市西城区2022届高三二模数学试题变式题16-21（已下线）模块十一 立体几何-2重庆市第八中学校2022届高三下学期高考考前模拟数学试题（已下线）模块六 专题8 易错题目重组卷（重庆卷）陕西省延安市宜川县中学2023届高三一模理科数学试题（已下线）专题4 大题分类练（空间向量与立体几何）拔高能力练 高二期末
名校
8 . 已知正方体
棱长为2，P为空间中一点.下列论述正确的是（ ）
棱长为2，P为空间中一点.下列论述正确的是（ ）A．若 ，则异面直线BP与 所成角的余弦值为 |
B．若 ，三棱锥 的体积不是定值 |
C．若 ，有且仅有一个点P，使得 平面 |
D．若 ，则异面直线BP和所成角取值范围是 |
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2022-10-20更新
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2072次组卷
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7卷引用：北京市第五十七中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题
北京市第五十七中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题北京市日坛中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题湖南省长沙市四校2022-2023学年高二上学期期中联考数学试题广东省广州市番禺区实验中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题（已下线）专题09 立体几何初步辽宁省沈阳市东北育才学校2023届高三高考适应性测试（二）数学试题（已下线）高二上学期第一次月考选择题压轴题50题专练-2023-2024学年高二数学举一反三系列（人教A版2019选择性必修第一册）
名校
解题方法
9 . 《瀑布》（图1）是埃舍尔最为人所知的作品之一，图中的瀑布会源源不断地落下，落下的水又逆流而上，荒唐至极，但又会让你百看不腻.画面下方还有一位饶有兴致的观察者，似乎他没发现什么不对劲.此时，他既是画外的观看者，也是埃舍尔自己.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”由三个正方体构成，右塔上的几何体是首次出现，后称“埃舍尔多面体”（图2）
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形
的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为
，将极点
，分别与正方形
的顶点连线，取其中点记为
，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥
与
.
(1)求异面直线
与
成角余弦值
(2)求平面
与平面
的夹角余弦值
(3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）
埃舍尔多面体可以用两两垂直且中心重合的三个正方形构造，设边长均为2，定义正方形
的顶点为“框架点”，定义两正方形交线为“极轴”，其端点为“极点”，记为，将极点，分别与正方形的顶点连线，取其中点记为，如（图3）.埃舍尔多面体可视部分是由12个四棱锥构成，这些四棱锥顶点均为“框架点”，底面四边形由两个“极点”与两个“中点”构成，为了便于理解，图4我们构造了其中两个四棱锥与.(1)求异面直线
与成角余弦值(2)求平面
与平面的夹角余弦值(3)求埃舍尔体的表面积与体积（直接写出答案）
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10 . 设棱长为2的正方体，
是
中点，点、分别是棱
、
上的动点，给出以下四个结论：
①存在
；
②存在
平面
；
③存在无数个等腰三角形
；
④三棱锥
的体积的取值范围是
.
则所有结论正确的序号是______ .
，是中点，点、分别是棱、上的动点，给出以下四个结论：①存在
；②存在
平面；③存在无数个等腰三角形
；④三棱锥
的体积的取值范围是.则所有结论正确的序号是
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2022-03-10更新
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1510次组卷
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5卷引用：北京平谷区2022届高三零模数学试题
北京平谷区2022届高三零模数学试题北京市第一六一中学2022届高三考前热身训练数学试题（已下线）数学-2022年高考押题预测卷01（北京卷）北京市清华附中2023届高三下学期3月调研数学试题（已下线）专题01 空间向量与立体几何（6）
