1 . 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:
(1)(归纳奠基)证明当时命题成立;
(2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
已知集合A为有理数集Q的一个子集,且满足以下条件:
①且;
②对任意的,存在唯一的,满足,其中,表示不超过y的最大整数;
③若,,则.
证明:
(1);
(2)对任意的,对每一个整数,都有;
(3).
(1)(归纳奠基)证明当时命题成立;
(2)(归纳递推)以“当时命题成立”为条件,推出“当时命题也成立”.
只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从开始的所有正整数n都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
已知集合A为有理数集Q的一个子集,且满足以下条件:
①且;
②对任意的,存在唯一的,满足,其中,表示不超过y的最大整数;
③若,,则.
证明:
(1);
(2)对任意的,对每一个整数,都有;
(3).
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2 . 已知为有穷正整数数列,,且.从中选取第项,第项,,第项,称数列,为的长度为的子列.规定:数列的任意一项都是的长度为1的子列.若对于任意的正整数,数列存在长度为的子列,使得,则称数列为全覆盖数列.
(1)判断数列和数列是否为全覆盖数列;
(2)在数列中,若,求证:当时,;
(3)若数列满足:,且当时,,求证:数列为全覆盖数列.
(1)判断数列和数列是否为全覆盖数列;
(2)在数列中,若,求证:当时,;
(3)若数列满足:,且当时,,求证:数列为全覆盖数列.
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解题方法
3 . 已知无穷数列满足:
①;
②.
设为所能取到的最大值,并记数列.
(1)若数列为等差数列且,直接写出其公差的值;
(2)若,求的值;
(3)若,,求数列的前100项和.
①;
②.
设为所能取到的最大值,并记数列.
(1)若数列为等差数列且,直接写出其公差的值;
(2)若,求的值;
(3)若,,求数列的前100项和.
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解题方法
4 . 已知数列满足,则( )
A.若,则数列为常数列 |
B.若,则对任意,有 |
C.若,则对任意,有 |
D.若,则对任意 |
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解题方法
5 . 斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入,故又称为“兔子数列”,即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,….在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数,斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列满足:,,则下列结论正确的是( )
A.是偶数 | B. |
C. | D. |
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2024·山东·模拟预测
6 . 将数列从首项开始从左到右依次排列,得到数组,,,…,,然后执行以下操作:将移到右侧,然后剔除,再将移到右侧,然后剔除,继续以上操作,即将最左边的数移到最右边,然后剔除新数组最左边的数,直到剩下最后一个数.若令此操作为,则,且确定的值可确定的值,如,,.
(1)证明:;
(2)证明:;
(3)若,证明:.
(1)证明:;
(2)证明:;
(3)若,证明:.
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2023高二上·江苏·专题练习
7 . (多选题)已知数列{}的前n项和为,,则下列选项正确的是( )
A. | B.存在,使得 |
C. | D.是单调递增数列,{}是单调递减数列 |
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2023高二上·江苏·专题练习
解题方法
8 . 下列命题正确的有( )个
(1)若数列为等比数列,为其前n项和,则,,也成等比数列;
(2)数列的通项公式为,则对任意的,存在,使得;
(3)设为不超过实数x的最大整数,例如:,,.设a为正整数,数列满足,,记,则M为有限集.
(1)若数列为等比数列,为其前n项和,则,,也成等比数列;
(2)数列的通项公式为,则对任意的,存在,使得;
(3)设为不超过实数x的最大整数,例如:,,.设a为正整数,数列满足,,记,则M为有限集.
A.0 | B.1 | C.2 | D.3 |
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2023高二上·江苏·专题练习
解题方法
9 . 已知无穷数列A:,满足:①,且;②,设为所能取到的最大值,并记数列:,,….
(1)若数列A为等差数列且,求其公差d;
(2)若,求的值;
(3)若,,求数列的前100项和.
(1)若数列A为等差数列且,求其公差d;
(2)若,求的值;
(3)若,,求数列的前100项和.
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解题方法
10 . “”表示实数整除实数,例如:,已知数列满足:,若,则,否则,那么下列说法正确的有( )
A. | B. |
C.对任意,都有 | D.存在 |
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